第一讲解方程。
一、知识要点：
1、什么是方程？
方程必须同时满足两个条件：一是含有未知数，二是“等式”。如：
，虽然含有未知数，但不是等式，所以不是方程，5+2=3+4虽然是等式，但不含未知数，所以也不是方程，，既是等式，也有未知数，所以是方程，含有未知数的等式叫方程。
2、什么是方程的解？
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；如，（注意：方程的解本身也是一个含有未知数的等式）
求方程中的未知数，叫做解方程。
二、基本训练。
1、一步法解方程。
例1（12）
解：系数化为1得解：系数化为1得：
2、两步法解方程。
例2 （12）
解：合并同类项得解：合并同类项得：
系数化为1得系数化为1得：
3、三步法解方程。
例3 （12）
解：移项得解：移项得：
合并同类项得合并同类项得：
系数化为1得系数化为1得：
注意：等号左边的数移到等号右边要注意“变号”。）
4、四步法解方程。
例4 （12）
解：去括号得解：去括号得：
移项得移项得：
合并同类项得合并同类项得：
系数化为1得系数化为1得：
5、五步法解方程。
例5 （12）
解： 去括号得解：去括号得：
去分母得去分母得：
移项得移项得：
合并同类项得合并同类项得：
系数化为1得系数化为1得：
同步练习：第二讲解二元一次方程组。
一、知识要点：
前面我们介绍了含有未知数的等式叫方程，方程中的未知数的个数可以是一个也可以是多个，若一个方程中未知数的个数为，则称这个方程为元方程，若未知数的最高次数为，则称该方程为元次方程。简言之，“元”表示方程中未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数。
一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程，如，此方程的解惟一，即。
二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做二元一次方程，如，如果没有其他限制条件，此方程的解不惟一，如，都是原方程的解。
二元一次方程组：有两个二元一次方程（至少有一个是二元一次方程）构成的同解方程。
解一次方程组的基本思想是“消元”，通过消元，把一次方程组转化为一个一元一次方程来求解。
求解二元一次方程组的方法主要有：代入消元法与加减消元法。
二、代入法解二元一次方程组。
例1 解方程组。
解：由（1）式整理得。
将（3）代入（2）得
将代入（3）得。
所以原方程组的解为。
例2 解方程组。
解：将（2）整体代入（1），得。
将代入（2）式得，所以原方程组的解为。
说明：有时可根据题目的特点，整体代入，简化运算。当然，不是所有的题目都像例3一样，直接就可以整体代入，有时，通过仔细观察，抓住原方程组的特征，将它先作一些处理，然后再整体代入。
同步练习。
三、加减法解二元一次方程组。
例3 解方程组。
解：观察发现（1）式加上（2）式可以消去未知数，（1）式减去（2）式可以消去未知数，因此。
（1）+（2）得：
（1）-（2）得：
所以原方程组的解为。
例4 解方程组。
解：（1）×2+（2）×3得
将代入（1）得 ，所以原方程组的解为。同步练习。
四、其他方法解多元一次方程组。
例5 解方程组。
解：（1）+（2）+（3）得，即。
4）-（1）得，（4）－（2）得，（4）－（3）得。
所以原方程组的解为。
说明：本题的未知元以对称的形式出现，此时，将方程叠加后，一般可简化计算。
第三讲列方程解应用题。
设未知数。列方程解应用题有两个关键步骤：一是设未知数；二是找出数量间的等量关系。下面我们就从“设未知数”这一角度，帮助同学们列方程解应用题。
一、设直接未知数。
此方法的特点是求什么设什么，这是最常用的方法。
例1 爷爷今年78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁和16岁。几年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄之和？
分析与解设x年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄之和。
这时，爷爷的年龄为（78+x）岁。三个孙子的年龄分别是（27+x）岁、（23+x）岁、（16+x）岁。
根据题意列方程得：78+x=（27+x）+（23+x）+（16+x）
x=6答：6年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄之和。
同步练习：1）哥哥放学回家，以80米／分的速度步行回家，12分钟后，弟弟骑自行车以200米／分的速度从学校往家中骑，经过几分钟弟弟可以追上哥哥？
2）五年级有六个班，每班的人数相等。从每班选16人参加少先队活动，剩下的同学相当于原来4个班的人数，原来每班多少人？
二、设间接未知数。
当直接设未知数列方程比较困难或列出的方程不易求解时，就要设与所求问题相关的间接未知数。
例2 四、五年级共植树80课，五年级植树的棵数比四年级的2倍少4棵，五年级植树多少棵？
分析与解这道题如果直接设五年级植树的棵数为x，会给列方程带来很大的困难，而设间接未知数：四年级植树的棵数为x棵，五年级植树的棵数为（2x－4）棵，就比较容易。
设四年级植树的棵数为x棵，五年级植树的棵数为（2x－4）棵。
根据题意列方程得：x＋（2x－4）＝80
x＝28 2×28－4＝52（棵）
答：五年级植树52棵。
例3 老师发给学生练习本，每人6本则剩下41本；每人8本则少29本，求共有多少本练习本？
分析与解此题应选择谁设为x呢？如果直接设共有x本练习本，则难列方程，不易求出方程的解，所以间接设学生人数为x人，练习本数为：（6x＋41）本或（8x－29）本。
根据题意列方程得：6x＋41＝8x－29
x=356×35＋41＝251（本）
答：共有251本练习本。
同步练习：1）六年级同学坐车，每车8人则多24人；每车9人则多4人，求总人数？
2）一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌？
例4 招待所有20个大房间和25个小房间，共住150人，已知大房间比小房间多住3人，求大、小房间各住多少人？
分析与解此题有两个未知数，根据题意，可以选择其中一个设未知数为x，用x表示另一个未知数。但如果这题直接设大房间住x人（或小房间住x人），会使题目变得更复杂，列方程更困难，而间接设与未知数相关联的量：大房间每间住x人，一共住20x；小房间每间住（x-3）人，一共住25（x-3）人。
根据题意列方程得：20x +25（x-3）＝150
x＝520×5＝100（人）……大房间。
150－100＝50（人）……小房间。
答：大房间住100人，小房间住50人。
同步练习：某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸盒中，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多，求塑料袋和纸箱各装多少件玩具？
第四讲列方程解应用题。
找等量关系。
应用题教学是小学数学教学的一个重点，也是一个难点。如何正确解答，一般处决于学生的理解能力，即能正确理解题意，分析已知条件，理清数量之间的关系，从而推导出正确的解答方法。但在实际教学中，尤其是教学列方程解应用题时，我们也常会发现，学生找不到等量关系，从而无法正确解答。
那么，如何让学生正确地找出应用题中的等量关系呢？我认为可以从以下几方面入手：
1．牢记计算公式，根据公式来找等量关系。
这种方法一般适用于几何应用题，教师要让学生牢记周长公式、面积公式、体积公式等，然后根据公式来解决问题。
例1 一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。
分析与解根据“（长+宽+高）×4＝棱长总和”这一数量关系，可列出方程。
由题意得，长=1.5×宽，宽=2×高。
解：设高为x厘米，则宽为2x厘米，长为3x厘米。
根据题意列方程得：（x+2x+3x）×4＝48
x=2宽为：2×2＝4（厘米）
长为：3×2＝6（厘米）
2×4×6＝48（立方厘米）
答：这个长方体的体积为48立方厘米。
2．熟记数量关系，根据数量关系找等量关系。
这种方法一般适用于工程问题、路程问题、**问题，教师在教学这三类问题时，不但要让学生理解，还应让学生记熟“工作效率×工作时间=工作总量；速度×时间=路程；单价×件数=总价”等关系式。
例2 电扇厂计划20天生产电扇1600台，生产5天后，由于改进技术，效率提高，完成计划还要多少天？
分析与解依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量(剩余工作量)，原有的工效：1600÷20＝80（台），提高后的工效：80×（1＋）＝100（台），时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系式：
提高后的工效×所需的天数＝剩下的台数。
解：设完成计划还需x天。
1600÷20×（1＋）×x＝1600－1600÷20×5
80×（1＋）x＝1600－400
x＝12 答：完成计划还需12天。
3．抓住关键字词，根据字词的提示找等量关系。
这种方法一般适用于和差关系、倍数关系的应用题，在题中常有这样的提示：“一共有”、“比……多（少）”、是……的几倍”、“比……的几倍多（少）”等。在解题时，可根据这些关键字词来找等量关系，按叙述的顺序列出方程。
六年级奥数第一册三单元
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