本资料**于《七彩教育网》
全国初中（初二）数学竞赛辅导。
第二十三讲几何不等式。
平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．
在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．
几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．
定理1 在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．
定理2 同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．
定理3 在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．
定理4 三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．
定理5 自直线l外一点p引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．
说明如图2-135所示．pa，pb是斜线，ha和hb分别是pa和pb在l上的射影，若ha＞hb，则pa＞pb；若pa＞pb，则ha＞hb．事实上，由勾股定理知。
pa2-ha2=ph2=pb2-hb2，所以。
pa2-pb2=ha2-hb2．
从而定理容易得证．
定理6 在△abc中，点p是边bc上任意一点，则有。
pa≤max｛ab，ac｝，当点p为a或b时等号成立．
说明 max｛ab，ac｝表示ab，ac中的较大者，如图2-136所示，若p**段bh上，则由于ph≤bh，由上面的定理5知pa≤ba，从而。
pa≤max｛ab，ac｝．
同理，若p**段hc上，同样有pa≤max｛ab，ac｝．
例1 在锐角三角形abc中，ab＞ac，am为中线，p为△amc内一点，证明：pb＞pc(图2-137)．
证在△amb与△amc中，am是公共边，bm=mc，且ab＞ac，由定理3知，∠amb＞∠amc，所以∠amc＜90°．
过点p作ph⊥bc，垂足为h，则h必定**段bm的延长线上．如果h**段mc内部，则。
bh＞bm=mc＞hc．
如果h**段mc的延长线上，显然bh＞hc，所以pb＞pc．
例2 已知p是△abc内任意一点(图2-138)．
(1)求证：
a＋b＋c；
(2)若△abc为正三角形，且边长为1，求证：
pa+pb＋pc＜2．
证 (1)由三角形两边之和大于第三边得。
pa＋pb＞c，pb＋pc＞a，pc＋pa＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得。
又由定理4可知。
pa＋pb＜a＋b， pb＋pc＜b＋c，pc+pa＜c＋a．
把它们相加，再除以2，便得。
pa＋pb＋pc＜a＋b＋c．
所以。(2)过p作de∥bc交正三角形abc的边ab，ac于d，e，如图2-138所示．于是。
pa＜max｛ad，ae｝＝ad，pb＜bd＋dp，pc＜pe＋ec，所以。
pa＋pb＋pc＜ad＋bd＋dp＋pe＋ec
ab＋ae＋ec=2．
例3 如图2-139．**段bc同侧作两个三角形abc和dbc，使得ab=ac，db＞dc，且ab＋ac=db＋dc．若ac与bd相交于e，求证：ae＞de．
证在db上取点f，使df=ac，并连接af和ad．由已知2db＞db+dc
=ab+ac=2ac，所以 db＞ac．
由于db＋dc=ab＋ac=2ac，所以。
dc＋bf=ac=ab．
在△abf中，af＞ab-bf=dc．
在△adc和△adf中，ad=ad，ac=df，af＞cd．
由定理3，∠1＞∠2，所以。
ae＞de．
例4 设g是正方形abcd的边dc上一点，连结ag并延长交bc延长线于k，求证：
分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所为边的三角形．
证如图2-140，在gk上取一点m，使gm=mk，则。
在rt△gck中，cm是gk边上的中线，所以。
gcm=∠mgc．
而∠acg=45°，∠mgc＞∠acg，于是。
mgc＞45°，所以。
acm=∠acg＋∠gcm＞90°．
由于在△acm中∠acm＞∠amc，所以am＞ac．故。
例5 如图2-141．设bc是△abc的最长边，在此三角形内部任选一点o，ao，bo，co分别交对边于a′，b′，c′．证明：
(1)oa′＋ob′＋oc′＜bc；
(2)oa′＋ob′+oc′≤max｛aa′，bb′，cc′｝．
证 (1)过点o作ox，oy分别平行于边ab，ac，交边bc于x，y点，再过x，y分别作xs，yt平行于cc′和bb′交ab，ac于s，t．由于△oxy∽△abc，所以xy是△oxy的最大边，所以。
oa′＜max｛ox，oy｝≤xy．
又△bxs∽△bcc′，而bc是△bcc′中的最大边，从而bx也是△bxs中的最大边，而且sxoc′是平行四边形，所以。
bx＞xs=oc′．
同理。cy＞ob′．
所以。oa′＋ob′＋oc′＜xy＋bx＋cy=bc．
所以。oa′＋ob′+oc′=x·aa′+y·bb′＋z·cc′
(x+y+z)max｛aa′，bb′，cc′｝
max｛aa′，bb′，cc′｝
下面我们举几个与角有关的不等式问题．
例6 在△abc中，d是中线am上一点，若∠dcb＞∠dbc，求证：∠acb＞∠abc(图2-142)．
证在△bcd中，因为∠dcb＞∠dbc，所以bd＞cd．
在△dmb与△dmc中，dm为公共边，bm=mc，并且bd＞cd，由定理3知，∠dmb＞∠dmc．在△amb与△amc中，am是公共边，bm=mc，且∠amb＞∠amc，由定理3知，ab＞ac，所以。
acb＞∠abc．
说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．
证由于ac＞ab，所以∠b＞∠c．作∠abd=∠c，如图2
即证bd∠cd．因为△bad∽△cab，即 bc＞2bd．
又 cd＞bc-bd，所以。
bc＋cd＞2bd＋bc-bd，所以 cd＞bd．
从而命题得证．
例8 在锐角△abc中，最大的高线ah等于中线bm，求证：∠b＜60°(图2-144)．
证作mh1⊥bc于h1，由于m是中点，所以。
于是在rt△mh1b中，mbh1=30°．
延长bm至n，使得mn=bm，则abcn为平行四边形．因为ah为最abc中的最短边，所以。
an=bc＜ab，从而。
abn＜∠anb=∠mbc=30°，b=∠abm+∠mbc＜60°．
下面是一个非常著名的问题——费马点问题．
例9 如图2-145．设o为△abc内一点，且。
aob=∠boc=∠coa=120°，p为任意一点(不是o)．求证：
pa＋pb+pc＞oa+ob+oc．
证过△abc的顶点a，b，c分别引oa，ob，oc的垂线，设这三条垂线的交点为a1，b1，c1(如图2-145)，考虑四边形aobc1．因为。
oac1=∠obc1=90°，∠aob=120°，所以∠c1=60°．同理，∠a1=∠b1=60°．所以△a1b1c1为正三角形．
设p到△a1b1c1三边b1c1，c1a1，a1b1的距离分别为ha，hb，hc，且△a1b1c1的边长为a，高为h．由等式。
s△a1b1c1=s△pb1c1+s△pc1a1＋s△pa1b1
知。所以 h=ha＋hb＋hc．
这说明正△a1b1c1内任一点p到三边的距离和等于△a1b1c1的高h，这是一个定值，所以。
oa＋ob＋oc=h=定值．
显然，pa＋pb＋pc＞p到△a1b1c1三边距离和，所以。
pa＋pb＋pc＞h=oa＋ob＋oc．
这就是我们所要证的结论．
由这个结论可知o点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．
练习二十三。
1．设d是△abc中边bc上一点，求证：ad不大于△abc中的最大边．
2．am是△abc的中线，求证：
3．已知△abc的边bc上有两点d，e，且bd=ce，求证：ab＋ac＞ad＋ae．
4．设△abc中，∠c＞∠b，bd，ce分别为∠b与∠c的平分线，求证：bd＞ce．
5．在△abc中，be和cf是高，ab＞ac，求证：
ab+cf≥ac＋be．
6．在△abc中，ab＞ac，ad为高，p为ad上的任意一点，求证：
pb-pc＞ab-ac．
7．在等腰△abc中，ab=ac．
(1)若m是bc的中点，过m任作一直线交ab，ac(或其延长线)于d，e，求证：2ab＜ad+ae．
(2)若p是△abc内一点，且pb＜pc，求证：∠apb＞∠apc．
本资料由《七彩教育网》 提供！
八年级数学不等式复习
不等式复习1 一 知识点回顾。1 一元一次不等式 组 的定义 2 一元一次不等式 组 的解集 解法 3 求不等式组的解集的方法 若a b 当时，x b 同大取大当时，x a 同小取小 当。时，a x b 大小小大取中间 当。时无解，大大小小无解 二 小试牛刀。1 不等式8 3x 0的最大整数解是。2...
八年级数学不等式
1 1 不等关系。一 基础过关。1 下面给出了5个式子 3 0，4x 3y o，x 3，x 1，x 2 3，其中不等式有 a 2个 b 3个 c 4个 d 5个。2 a b两数在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是 a a 0，b 0 b a 0，b 0 c ab 0 d 以上均不对。3 a是非...
八年级数学 不等式 练习题
八年级数学 不等式 练习题。1.a 3大于 2的数。2.b是非负数。3.x的一半与3的相反数和不小于0 4.y的三分之一与a的和不是正数。5.a与b两数的平方和不小于这两数的积的2倍。6.a的相反数与4的和是非正数。7.如果a8.如果a9.a 0时，a a当a 0时，a a 10.如果a 0,且ab...