数学活动（三）
导学目标】1.展示与研究勾股定理的证明方法。
2.设计一个测量风筝高度的方案。
导学重点】进行两个活动。
导学难点】活动1.
学法指导】合作**。
课前准备】搜集勾股定理的证明方法。
导学流程】一、呈现目标、明确任务。
研究一些勾股定理的证明方法和勾股定理的应用。
二、教师引导。
活动。一、证明勾股定理的方法很多。大家把自己搜集来的方法展示给小组成员，并进行研究与交流。（见附。）
活动。二、小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮帮他们吗？
四、点拨升华、当堂达标。
活动二，可以构造直角三角形，风筝的竖直高度、放风筝的点到风筝正下方之间的距离为直角边，风筝线为斜边。
附：勾股定理的证明。
证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为、，斜边长为，再做三个边长分别为、、的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是+，所以面积相等。 即。
整理得。证法2】（邹元治证明）
以、为直角边，以为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点在一条直线上，b、f、c三点在一条直线上，c、g、d三点在一条直线上。
rtδhae ≌ rtδebf,
∠ahe = bef.
∠aeh + ahe = 90, ∠aeh + bef = 90.
∠hef = 180―90= 90.
四边形efgh是一个边长为的。
正方形。 它的面积等于2.
rtδgdh ≌ rtδhae,
∠hgd = eha.
∠hgd + ghd = 90, ∠eha + ghd = 90.
又∵ ∠ghe = 90, ∠dha = 90+ 90= 180.
abcd是一个边长为+的正方形，它的面积等于。
证法3】（赵爽证明）
以、为直角边（），以为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。 把这四个直角三。
角形拼成如图所示形状。
rtδdah ≌ rtδabe,
∠hda = eab.
∠had + had = 90， ∠eab + had = 90， abcd是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
ef = fg =gh =he = b―a ,hef = 90.
efgh是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于。
证法4】（2024年美国**garfield证明）
以a、b 为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点在一条直线上。
rtδead ≌ rtδcbe,
∠ade = bec.
∠aed + ade = 90, ∠aed + bec = 90.
∠dec = 180―90= 90.
δdec是一个等腰直角三角形，它的面积等于。
又∵ ∠dae = 90, ∠ebc = 90, ad∥bc.
abcd是一个直角梯形，它的面积等于。
证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上。 过c作ac的延长线交df于点p.
d、e、f在一条直线上， 且rtδgef ≌ rtδebd, ∠egf = bed， ∠egf + gef = 90°， bed + gef = 90°， beg =180―90= 90.
又∵ ab = be = eg = ga = c， abeg是一个边长为c的正方形。
∠abc + cbe = 90.
rtδabc ≌ rtδebd, ∠abc = ebd.
∠ebd + cbe = 90.
即 ∠cbd= 90.
又∵ ∠bde = 90，∠bcp = 90，bc = bd = a.
bdpc是一个边长为a的正方形。
证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点在一条直线上。
过点q作qp∥bc，交ac于点p.
过点b作bm⊥pq，垂足为m；再过点。
f作fn⊥pq，垂足为n.
∠bca = 90，qp∥bc， ∠mpc = 90， bm⊥pq， ∠bmp = 90， bcpm是一个矩形，即∠mbc = 90.
∠qbm + mba = qba = 90，abc + mba = mbc = 90， ∠qbm = abc，又∵ ∠bmp = 90，∠bca = 90，bq = ba = c， rtδbmq ≌ rtδbca.
同理可证rtδqnf ≌ rtδaef.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结。
bf、cd. 过c作cl⊥de，交ab于点m，交de于点。
l. af = ac，ab = ad，fab = gad， δfab ≌ gad， δfab的面积等于，gad的面积等于矩形adlm的面积的一半， 矩形adlm的面积 =.
同理可证，矩形mleb的面积 =.
正方形adeb的面积 = 矩形adlm的面积 + 矩形mleb的面积。
，即 .证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在rtδabc中，设直角边ac、bc的长度分别为a、b，斜边ab的长为c，过点c作cd⊥ab，垂足是d.
在δadc和δacb中， ∠adc = acb = 90，cad = bac， δadc ∽ acb.
ad∶ac = ac ∶ab，即 .
同理可证，δcdb ∽ acb，从而有 .
，即 .证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形。
过a作af⊥ac，af交gt于f，af交dt于r. 过b作bp⊥af，垂足为p. 过d作de与cb的延长线垂直，垂足为e，de交af于h.
∠bad = 90，∠pac = 90， ∠dah = bac.
又∵ ∠dha = 90，∠bca = 90，ad = ab = c， rtδdha ≌ rtδbca.
dh = bc = a，ah = ac = b.
由作法可知， pbca 是一个矩形，所以 rtδapb ≌ rtδbca. 即pb =
ca = b，ap= a，从而ph = b―a.
rtδdgt ≌ rtδbca ,rtδdha ≌ rtδbca.
rtδdgt ≌ rtδdha .
dh = dg = a，∠gdt = hda .
又∵ ∠dgt = 90，∠dhf = 90，gdh = gdt + tdh = hda+ ∠tdh = 90， dgfh是一个边长为a的正方形。
gf = fh = a . tf⊥af，tf = gt―gf = b―a .
tfpb是一个直角梯形，上底tf=b―a，下底bp= b，高fp=a +（b―a）.
证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使a、e、g三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号（如图）.
∠tbe = abh = 90， ∠tbh = abe.
又∵ ∠bth = bea = 90，bt = be = b， rtδhbt ≌ rtδabe.
ht = ae = a.
gh = gt―ht = b―a.
又∵ ∠ghf + bht = 90，dbc + bht = tbh + bht = 90， ∠ghf = dbc.
db = eb―ed = b―a，hgf = bdc = 90， rtδhgf ≌ rtδbdc. 即 .
过q作qm⊥ag，垂足是m. 由∠baq = bea = 90，可知 ∠abe
∠qam，而ab = aq = c，所以rtδabe ≌ rtδqam . 又rtδhbt ≌ rtδabe. 所以rtδhbt ≌ rtδqam . 即 .
由rtδabe ≌ rtδqam，又得qm = ae = a，∠aqm = bae.
∠aqm + fqm = 90，∠bae + car = 90，∠aqm = bae， ∠fqm = car.
又∵ ∠qmf = arc = 90，qm = ar = a， rtδqmf ≌ rtδarc. 即。
，又∵ ，即 .
证法11】（利用切割线定理证明）
在rtδabc中，设直角边bc = a，ac = b，斜边ab = c. 如图，以b为圆心a为半径作圆，交ab及ab的延长线分别于d、e，则bd = be = bc = a. 因为∠bca = 90，点c在⊙b上，所以ac是⊙b 的切线。
由切割线定理，得。
，即， .
证法12】（利用多列米定理证明）
在rtδabc中，设直角边bc = a，ac = b，斜边ab = c（如图）. 过点a作ad∥cb，过点b作bd∥ca，则acbd为矩形，矩形acbd内接于一个圆。 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有。
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