8.4因式分解（三）
运用平方差公式进行分解因式。
一、教学目标：
1. 使学生进一步理解因式分解的意义。
2. 会运用平方差公式分解因式。
3. 通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力。
二、教学重点、难点：
1. 理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。
2. 会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式。
三、教学过程：
一）设置情景：
情景1：小组讨论：992－1是100的整数倍吗？
1.判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？
如：12是3的整数倍吗？（学生知道就是把12分解因数。）
2.类似地要判断992－1是100的整数倍呢？也可以想到尝试分解。
3.992－1可以写成（99+1）（99－1）吗？为什么可以这么写？9992－1可以吗？
可以写成（a+1）(a－1)吗？
可以写成乘积形式吗？你认为可以写成什么样子呢？
呢？情景2：和老师比一比，看谁算的又快又准确：572－562 962－952
思考：在以上的这些算式中，你发现他们有什么共同点？用自己的语言说一说。
情景3：计算图中的阴影部分面积（用a、b的代数式表示）
问题一：整体计算可以怎样表示？
问题二：分割成如图两部分可以怎样计算？
问题三：比较两种计算的结果你有什么发现？
思考：1.对于（1）式从左边到右边的变形叫什么？
2.对于（2）式从左边到右边的变形叫什么？
3.我们已经学习提公因式法分解因式。在（2）式的左边有公因式吗？但它写成右边的形式是分解因式吗？可见，没有公因式的某些多项式也可以用别的方法分解。
二）平方差公式的特征辨析：
把乘法公式(a+b)(a－b)=a2－b2反过来得：a2－b2=(a+b)(a－b)
我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式。这种方法叫运用平方差公式法。
议一议]：下列多项式可以用平方差公式分解吗？
1）x2－y2 （2）x2+y2 （3）－x2－y2
4）－x2+y2 （5）64－a2 （6）4x2－9y2
教师可以用简练的语言总结平方差公式的特点：
1.左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反。
2.右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差。
3.在乘法公式中，平方差是指计算的结果，在分解因式时，平方差是指要分解的多项式。
三）例题教学。
例1 把下列多项式分解因式：
1) 36－25x2 (2) 16a2－9b2
分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把xab2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键。
解： 36－25x2=62－(5x)2
(6+5x)(6－5x)
16a2－9b2=(4a)2－(3b)2
(4a+3b)(4a－3b)
例2 如图，求圆环形绿化区的面积。
解： 352π－152π
1000π(m2)
这个绿化区的面积是1000πm2
例3 把下列多项式分解因式：
1. (x+p)2－(x+q)2 2. 9(a+b)2－4(a－b)2
分析：在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式观察和心算，而后是进行变形。这一点在这儿尤为重要。
解： (x+p)2－(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][x+p)－(x+q)] 2x+p+q)(p－q)
9(a+b)2－4(a－b)2 =[3(a+b)]2－[2(a－b)]2=[3(a+b)+2(a－b)] 3(a+b)－2(a－b)]
(5a+b)(a+5b)
例4.（供选择）观察下列算式回答问题：
问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用自己的语言表达你所发现的结论吗？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？
解： 任意一个奇数的平方与1的差是8的整数倍。
2n+1)2－1 =[2n+1)+1][(2n+1)－1]
(2n+2)·2n
2(n+1)·2n
4n(n+1)
因为n是整数，所以n、n+1是两个连续的整数，而两个连续的整数一定有一个是偶数，即n(n+1)是2的倍数，因此4n(n+1)是8的倍数。
四）练习。1.下列分解因式是否正确：
1）－x2－y2=(x+y)(x－y)
2）9－25a2=(3+25a)(3+25b)
3）－4a2+9b2=(－2a+3b)(－2a－3b)
2.把下列各式分解因式：
1） 36－x2 （2） a2－b2 （3） x2－16y2
4） x2y2－z2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2
7） 25(a+b)2－4(a－b)28） 0.25(x+y)2－0.81(x－y)2
3.在边长为16.4cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm的正方形，求余下的纸片的面积。
4.已知x2－y2=－1 ， x+y=，求x－y的值。
五）小结。学生自己说出通过本节课的学习进一步理解了整式的乘法与因式分解的关系。能用自己的语言说出平方差公式的特点。
能体会出公式中的字母a、b不仅可以表示数字，而且可以是单项式、多项式。
六）作业。利用因式分解计算：
3）已知：4m+n=90，2m－3n=10，求(m+2n)2－(3m－n)2的值。
八年级数学 因式分解
八年级数学 北师大版 下册第二章 分解因式 单元测试题。一 填空题 每小题3分，共24分 1 将 x4 3x2 x提取公因式 x后，剩下的因式是。2 因式分解 a2b 4b 3 25m211 2 4 计算 99.82 0.22 5 若4a4 ka2b 25b2是一个完全平方式，则k 6 若一个正方形...
八年级数学因式分解
八年级数学第9讲因式分解 二 知识点归纳 四 十字相乘法 1.对于二次三项式，将a和c分别分解成两个因数的乘积，且满足，往往写成的形式，将二次三项式进行分解。如 2.二次三项式的分解 3.规律内涵 1 理解 把分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号...
八年级数学因式分解
因式分解 四 第四课时 8.2 运用公式法 1 一 目标要求。1 了解什么是运用公式法 2 理解因式分解公式 平方差公式 3 能运用平方差公式分解因式。二 重点难点。平方差公式的意义及应用。1 意义 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。2 应用 先写成两个数的平方差，再写成这两数和与...