因式分解。
提取公因式法。
定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。
ma＋mb=m(a＋b)
1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）。
2)字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂。
例1.对下列多项式进行因式分解：
（1）5x2y3-10x2y2）24abc-9a2b23)x(x-y)2-y(x-y)
4)-3ab+6abx-9aby (5)-3ma3+6ma2-12ma (6)2（a-b）2-a+b
(7)3（a-b）2-6a+6b (8)-0.01x3y+0.2x2yz2 (9)a（x-a）+b（a-x）-c（x-a）
例2.利用因式分解计算：22×3.145+53×3.145+31.45×2.5
公式法。例1.对下列多项式进行因式分解：
（1）16a2－12）－m2n2+4p23）x2－y4
4）（x+z）2－（y+z）2 （5）121－4a2b26）－+4x2
例2.对下列多项式进行因式分解：
例3.分解因式：xn＋4－169xn＋2 （n是自然数）
例4. 例5.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值 .
例6.已知58-1能被20-30之间的两个整数整除，求这两个数。
例7.若x、y互为相反数，且，求x、y的值。
课堂同步：1.若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是___
2.已知a+b=1，ab=－12，则a2+b2的值为___
3.已知，则=__
4.若是完全平方式，则m=__
5.已知。6.如果为完全平方数，则。
7.已知则。
8.分解下列多项式：
(1)4x3y－9xy32)27a3bc－3ab3c3)（2n+1）2－（2n－1）2
(4)16（3m－2n）2－25（m－n）25)16x4－y4z46)19992－1998x2000
(7)25x2652－1352x25
9.分解下列多项式：
1)x22)4a2+4a+13)－x2+4xy－4y2
4)3ax2+6axy+3ay25)m4+46)1-10ab2+25a2b4
7)(a-b)2+4(b-a)+48)12x-4-9x2
课后练习：1.分解下列多项式：
2.已知a(a－1)－(a2－b)=1，求(a2+b2)－ab的值。
4.已知m、n为自然数，且m(m－n)－n (n－m)=7，求m、n的值。
5.试说明不论x、y取什么有理数，多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数。
6.若x为任意整数，求证：的值不大于100。
7.已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值。
8.已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。
分组分解法。
am＋an＋bm＋bn=(a＋b)(m＋n)
例1.对下列多项式进行因式分解：
(1)a2－ab+3b－3a2)x2－6xy+9y2－1 (3)am－an－m2+n2
4)2ab－a2－b2+c25)a2x+a2y+b2x+b2y6)a4b+2a3b2-a2b-2ab2
7)45m2－20ax2+20axy－5ay28)2(a2－3mn)+a(4m－3n)
例2.对下列多项式进行因式分解：
十字相乘法。
二次项系数为1的二次三项式。
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例1.对下列多项式进行因式分解：
1)x2+2x-242)x2-x-303)x2-8x-12
4)x2-7x-305)m(3-m)+286)a3b-a2b-42ab
(7)(a+4)(a+5)+3a (8)y4+7y3-18y2
例2.对下列多项式进行因式分解：
(1)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)－482)
34)(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.
例3.求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。
例4.求证：多项式的值一定是非负数。
例5.在中，三边a,b,c满足，求证：
课堂练习：1.对下列多项式进行因式分解：
1)t4-5t2+4 (2)y2-4(3-y3)(4+m)(4-m)-6m (4)x2-(2x-3)2
5)-x2+15x+16 (6)15x2+x-2 (7)6y2+19y+10 (8)20-9y-20y2
9)4n2+4n-15 (10)（x+y）2-8（x+y）+4811)2x2-7x+3
12)6x2-7x-513)5x2+6xy-8y214)（x-y）（2x-2y-3）-2
2.对下列多项式进行因式分解：
(1)7x2-19x-62)12x2-13x+3 (3)4x2+24x+27 (4)8x2y2+6xy-35
课后练习：1.对下列多项式进行因式分解：
(4)x4+3x2y2+4y45)x2+2xy－8y2+2x+14y－3 (6)
7)2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2 (8)7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2
2.对下列多项式进行因式分解：
(1)18x2-21xy+5y22)（x2-3x+2）（x2-3x-4）-72 (3)（a+b）2+m（a+b）-12m2
4)（a2+5a+3）（a2+5a-2）-65)（x2-4x）2-（x2-4x）-20
6)（2 a2b－8a2b）÷（4a－b7)
复习题。1.多项式的公因式是（ ）
a.－ab. cd.
2.两个连续的奇数的平方差总可以被 k整除，则k等于（ ）
a.4b.8c.4或-4d.8的倍数。
3.若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为( )
a．8b．7c．10d．12
4.已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为( )
a．x=1，y=3 b．x=1，y=－3 c．x=－1，y=3 d．x=1，y=－3
5.已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为( )
a．互为倒数或互为负倒数 b．互为相反数。
c．相等的数d．任意有理数。
6.若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为( )
a．0 b．1c．－1 d．4
7.已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是( )
abcd
8.当取时，多项式取得最小值是___
9.的值是___
10.若的值为0，则的值是___
11.若是完全平方式，则m=__
12.若是完全平方式m=__
13.如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么的值为
14.若=，则m=__n=__
15.分解因式。
16.已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．
17.求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．
18.求证：两个连续偶数的平方差是4的倍数．
19.已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．
20.若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．
21.利用因式分解说明：能被140整除。
八年级数学上册《因式分解》教案
八年级数学上册 因式分解 教案。理解运用平方差公式分解因式的方法。掌握提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用。进一步培养学生综合 分析数学问题的能力。运用平方差公式分解因式。高次指数的转化，提公因式法，平方差公式的灵活运用。我们数学组的观课议课主题 1 关注学生的合作交流。2 如何使学困生能积极参...
人教版初中八年级数学上册《因式分解》教案
因式分解。教学目标。1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系 2.经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用 3.在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考 表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值 重 难点。1 重...
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