初中数学（实数）竞赛专项训练。
一、选择题。
1、如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）
a. a＋1 b. a2+1 c. a2+2a+1 d. a+2+1
2、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a、b有a*b=（a＋b）(b－1)②对任意实数a有a*2＝a*a。当x＝2时，［3*（x*2）］－2*x＋1的值为 （
a. 34 b. 16 c. 12 d. 6
3、已知n是奇数，m是偶数，方程有整数解x0、y0。则 （
a. x0、y0均为偶数 b. x0、y0均为奇数。
c. x0是偶数y0是奇数 d. x0是奇数y0是偶数
4、设a、b、c、d都是非零实数，则四个数－ab、ac、bd、cd （
a. 都是正数 b. 都是负数 c. 两正两负 d. 一正三负或一负三正。
5、满足等式的正整数对的个数是（ ）
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
6、已知p、q均为质数，且满足5p2+3q=59，由以p－p＋q、2p＋q－4为边长的三角形是。
a. 锐角三角形 b. 直角三角形 c. 钝角三角形 d. 等腰三角形。
7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
a. 111 b. 1000 c. 1001 d. 1111
8、在……100个自然数中，能被整除的数的个数共（ ）个。
a. 4 b. 6 c. 8 d. 16
二、填空题。
1、若，则s的整数部分是。
2、m是个位数字不为零的两位数，将m的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数n，若m－n恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。
3、已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么，a、b中较大的数是＿＿＿
4、设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m
5、满足19982＋m2＝19972＋n2（0＜m＜n＜1998）的整数对（m、n）共有＿＿＿个。
6、已知x为正整数，y和z均为素数，且满足，则x的值是＿＿＿
三、解答题。
1、试求出这样四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数。
2、从……205共205个正整数中，最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数a、b、c（a＜b＜c），都有ab≠c。
3、已知方程的根都是整数。求整数n的值。
4、设有编号为……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个（n≤100）学生进来，凡号码是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。
5、若勾股数组中，弦与股的差为1。证明这样的勾股数组可表示为如下形式：，其中为正整数。
参***。一、选择题。
1、解：设与a之差最小且比a大的一个完全平方数是x，则，所以应选d
应选d＝n－，n是奇数，必是奇数，又11=m－28，m和28均为偶数，所以11是偶数，应为偶数。故选c
4、解：－ab·ac·bd·cd＝－a2b2c2d2＜0，所以这四个数中应一正三负或一负三正。应选d
5、解：由可得。
所以。应选b
6、解：因为奇数，故p、q必一奇一偶，而p、q 均为质数，故p、q中有一个为2，若不合题意舍去。若p＝2，则q＝3，此时p＋3＝5，1－p+q=12，2p+q－4=13，因为52+122=132，所以为边长的三角形为直角三角形。
故选b7、解：依题意设六位数为，则＝a×105＋b×104＋c×103＋a×102＋b×10＋c＝a×102（103＋1）＋b×10（103＋1）＋c（103＋1）＝（a×103＋b×10＋c）（103＋1）＝1001（a×103＋b×10＋c），而a×103＋b×10＋c是整数，所以能被1001整除。故选c
8、解：能被整除即能被［2，3，4］＝12整除，共有……96共8个。应选c
二、填空题。
1、解：因……2001均大于1980，所以，又……2000均小于2001，所以，从而知s的整数部分为90。
2、解：设两位数m＝10a+b，则n＝10b+a，由a、b正整数，且1≤a，b≤9，，又c是某正整数，显然c3＜100，c≤4，而且c3是9的倍数，所以c＝3，即a－b＝3，满足条件的两位数有共6个。
3、解设（a，b）＝d，且a＝md，b＝nd，其中m＞n，且m与n 互质，于是a、b的最小公倍数为mnd，依题题有即，则m＞n据②可得或或或。
根据①只取可求得d＝15，故两个数中较大的数是md＝225。
4、解：最小三个合数是4，6，8，4+6+8＝18，故17是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数，当m＞18时，若m＝2k＞18，则m＝4+6+2（k－5），若m＝2k－1>18，则m＝4+9+2（k－7）即任意大于18的整数均可表示为三个互不相等的合数之和，故m＝17
5、解：n2－m2＝3995＝5×17×47，（n－m）（n+m）＝5×17×47，显然对3995的任意整数分拆均可得到（m，n），由题设（0＜m＜n＜1998），故满足条件的整数对（m，n）共3个。
6、解：由及x＝yz得y－z=1，即y与z是两个相邻的自然数，又y与z均为素数，只有y＝3，z＝2，故x=yz=6。
三、解答题。
1、解：设前后两个二位数分别为x、y，10≤x，y≤99。
根据题意有。即。当。
由于2500－99y必为完全平方数，而完全平方数的末位数仅可能为，故y仅可取25，此时，x=30或20，故所求四位数为2025或3025。
2、解：首先……205这193个数满足题设条件，事实上，设a、b、c（a＜b＜c）这3个数取自……205，若a＝1，则ab＝a＜c；
若a＞1，则ab≥14×15＝210＞c
另一方面考虑如下12个数组。
（2，25，2×25）（3，24，3×24）……13，14，13×14）上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝182＜205，所以每一个数组中的3个数不能全部都取出来，于是，如果取出来的数满足题设条件，那么，取出来的数的个数不超过205－12＝193（个）
综上所述，从……205中最多能取出193个数，满足题设条件。
3、解：原方程解得：
因为方程的根是整数，所以4n2＋32n＋9是完全平方数。
设4n2＋32n＋9＝m2 （m＞0）
（2n＋8）2－55＝m2
（2n＋8＋m）（2n＋8－m）＝55
因55＝1×55＝（－1）×（55）＝（5）×（11）＝5×11
解得：n、－8、－18
4、解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为共10盏灯是亮的。
5、证明：设勾长为，弦长为，则股长为。
是一个基本勾股数组。
由为奇数知：为偶数，从而为奇数，设（a为正整数），则有，解得。
故勾股数组具有形式。
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