18.4反比例函数(3)
知识技能目标。
1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；
2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．
过程性目标。
1.进一步探求一次函数和反比例函数的性质，感受用待定系数法求函数解析式的方法；
2.通过培养学生看图（象）、识图（象）、读图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题．
教学过程。一、创设情境。
已知正比例函数y＝ax和反比例函数的图象相交于点(1,2)，求两函数解析式．
分析根据题意可作出图象．点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把点(1,2)代入正比例函数和反比例函数的解析式中，求出a和b．
解因为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把x＝1，y＝2分别代入y＝ax和中，得。
2＝a，，b＝2．
所以正比例函数解析式为y＝2x．
反比例函数解析式为．
二、**归纳。
综合运用一次函数和反比例函数的知识解题，一般先根据题意画出图象，借助图象和题目中提供的信息解题．
三、实践应用。
例1 已知直线y＝x＋b经过点a(3,0)，并与双曲线的交点为b(－2，m)和c，求k、b的值．
解点a(3,0)在直线y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝－3．
一次函数的解析式为：y＝x－3．
又因为点b(－2，m)也在直线y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即b(－2,－5)．
而点b(－2,－5)又在反比例函数上，所以k＝－2×(－5)＝10．
例2 已知反比例函数的图象与一次函数y＝k2x－1的图象交于a(2,1)．
1)分别求出这两个函数的解析式；
2)试判断a点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．
分析 (1)因为点a在反比例函数和一次函数的图象上，把a点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值．
2)把点a关于坐标原点的对称点a′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知a′是否在这两个函数图象上．
解 (1)因为点a(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2．
1＝2 k2－1，k2＝1．
所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：y＝x－1．
2)点a(2,1)关于坐标原点的对称点是a′(－2,－1)．
把a点的横坐标代入反比例函数解析式得，，所以点a在反比例函数图象上．
把a点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝－2－1＝－3，所以点a不在一次函数图象上．
例3 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点a(0,1)和点b(a,－3a),a＜0，且点b在反比例函数的的图象上．
1)求a的值．
2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．
3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．
4)如果p(m,y1)、q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．
分析 (1)由于点a、点b在一次函数图象上，点b在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．
2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．
3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．
解 (1)反比例函数的图象过点b(a,－3a)，，a＝±1，因为a＜0， 所以a＝－1． a＜0． b(－1,3)．
又因为一次函数图象过点a(0,1)和点b(－1,3)．
所以解得，．
即：一次函数的解析式为y＝－2x＋1．
一次函数和反比例函数的图象为：
3)从图象上可知，当一次函数y的值在－1范围内时，相应的x的值为：
1≤x≤1．
4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m＋1＞m，所以y1＞y2。
或解：当x1＝m时，y1＝－2m＋1；当x2＝m＋1时，y2＝－2×(m＋1)＋1＝－2m－1
所以y1－y2＝(－2m＋1)－(2m－1)＝2＞0，即y1＞ y2。
例4 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于a、b两点．
1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．
分析 (1)把a、b两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式．
2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．
解 (1)观察图象可知，反比例函数的图象过点a(－2,1)，m＝－2×1＝－2．
所以反比例函数的解析式为：．又点b(1,a)也在反比例函数图象上，．即b(1,－2)．
因为一次函数图象过点a、b．所以解得，
一次函数解析式为：y＝－x－1．
2)观察图象可知，当x＜－2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数值．
四、交流反思。
1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．
2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．
五、检测反馈。
1.已知一次函数y＝kx＋b的图象过点a(0,1)和点b(a,－3a)(a＞0)，且点b在反比例函数的图象上，求a及一次函数式．
2.已知关于x的一次函数y＝mx＋3n和反比例函数图象都经过点(1,－2)，求这个一次函数与反比例函数的解析式．
3.如图，点p是直线与双曲线在第一象限内的一个交点，直线与x轴、y轴的交点分别为a、c，过p作pb垂直于x轴于b，若ab＋pb＝9．
1)求k的值；(2)求△pbc的面积．
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