中考总复习四：函数（二）
函数部分是初中数学中的重点，也是难点，复习时可以分成两个层次进行，一是利用手中的相关例题、习题，完成对数学思想的理解，知识的梳理，解题技巧的巩固；二是在一模后的专项复习阶段，提高解综合题的能力．
本讲主要针对二次函数的知识进行复习和提高．
一、复习要求。
1．基本要求：
能结合实际问题情景了解二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象．
2．略高要求：
能通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
3．较高要求：
能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题．
二、考点分析。
1．确定二次函数的解析式、对称轴、顶点、与轴交点坐标等；
2．二次函数的图象与字母系数的关系；
3．二次函数的最值、增减性；
4．二次函数与一元二次方程之间的关系；
5．二次函数的实际应用．
三、例题分析。
1．二次函数（，a、b、c是常数）中，自变量与函数的对应值如下表：
（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
（2）一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中。
的哪一个。思路点拨：本题给出九组y与x的对应值，虽然可以准确计算出二次函数的解析式，但是仔细观察九个点的特征（关于对称轴对称）和所求问题后发现，只要近似画出二次函数的图象，近似地找出抛物线与x轴的交点即可．
解：（1）开口方向向下，顶点坐标为（1，2）．
（2）正确的范围是③．
2．已知：抛物线的对称轴为，交x轴于点a、b（a在b的左侧）且，交y轴于点c．
（1）求此抛物线的函数解析式及其顶点m的坐标．
（2）求的面积．
（3）在此抛物线上求一点p，使得．
（4）在此抛物线上求一点p，使．
（5）在此抛物线上求一点p，使得△pbc是以bc为一直角边的直角三角形．
（6）在坐标轴上求一点p，使得△pbc是等腰三角形．
思路点拨：用对称性求抛物线的解析式是确定解析式的基本方法之一；以抛物线为背景的动点问题是其重要的应用．
解：（1）依题意，a（-1，0），b（3，0）．
所以解析式为，顶点m（1，-4）．
（2）由（1）知，c（0，-3），所以，的面积=．
（3）由（2）知，或，解得；或或．
所以，p点坐标为（，3）、（0，-3）或（2，-3）．
（4）由b（3，0）、c（0，-3），知bc的中垂线的解析式为．
联立，得．所以p点坐标为（，）或（，）
（5）依题意，只能，所以直线pc解析式为．
联立，得，．
所以p点坐标为（1，-4）．
（6）依题意，．
若b为顶角的顶点，则p点坐标为（0，3）或（，0）．
若c为顶角的顶点，则p点坐标为（-3，0）或（0，）．
若p为顶角的顶点，则p点坐标为（0，0）．
3．如图，在中，，bc边上的高，p是bc边上任一点，交ac于点e，交ab于点f．
（1）设，将的面积用x表示；
（2）点p在bc边上的什么位置时，最大？
解：（1）依题意，有，且，而．
所以．（2）当时，的面积最大=，此时p为bc中点．
4．如图，已知抛物线与x轴交于a、b两点，过定点的直线交x轴于点q．
（1）求证：不论a取何值，抛物线与直线总有两个公共点；
（2）写出a、b两点的坐标及点q的坐标用含a的代数式表示）；并。
依据点q的坐标的变化确定：当a满足时，直线与抛物线在第一象限内有交点；
（3）设直线与抛物线在第一象限内的交点为p，是否存在这样的点p，使得？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
（1）证明：令，化为．
则，所以方程必有两个不相等的实根，即抛物线与直线总有两个公共点．
（2）a（-2，0），b（3，0），q（2a，0）；a满足．
（3）若存在符合条件的点p（x，y），则要，即，解得（舍），．
所以p（2，2）．
5．如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为；直线与抛物线交于点，与轴交于点，且．
（1）用表示点的坐标；
（2）求实数的取值范围；
（3）请问的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．
思路点拨：由于点e在直线上，故其横坐标为1，只需知道抛物线的解析式中b、c之间的数量关系即可；而b的取值范围显然和条件“”相关，于是可求的正切值进行求解；要想知道的面积是否有最大值，关键在于将的面积用含b的代数式表示出来，再根据函数的性质求其最值．
解：（1）抛物线过，点在抛物线上，又在直线上，点的坐标为．
（2）由（1）得，．
（3）的面积有最大值，的对称轴为，点的坐标为，由（1）得，而。
的对称轴是，当时，取最大值，其最大值为．
6．如图，二次函数（m＜4）的图象与轴相交于点a、b两点．
（1）求a、b两点的坐标（可用含字母的代数式表示）；
（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数的图象相交于点c，且∠bac的正弦值为，求这个二次。
函数的解析式．
解：（1）解。
得， ，m＜4，∴ a (-4，0)，b (-m ，0)．
（2）过点c作cd⊥x轴，垂足为d，
∵sin∠bac==，tan∠bac==，设cd=3k， 则ad=4k，
∵ oa= 4，
∴od = 4k–4，∴ c (4k–4，3k) ．
∵点c在反比例函数y=的图象上， ∴3k ，
解得，k1= (不合题意，舍去)，k2=． c（2，）．
∵点c在二次函数的图象上，m =1．
∴ 二次函数的解析式为．
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