第五讲因式分解初步及应用。
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
1. 因式分解。
把一个多项式分解成几个整式之积的形式叫做多项式的因式分解。因式分解是多项式乘法的逆向变形。因式分解的常用方法：
提取公因式，公式法，十字相乘法，分组分解法，配方法。常用公式：
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式。
完全平方公式
立方和、立方差公式
补充：欧拉公式：
特别地：（1）当时，有。
（2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
通过基本思路达到分解多项式的目的。
例1. 分解因式。
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式。
解二：原式=
2. 通过变形达到分解的目的。
例1. 分解因式。
解一：将拆成，则有。
解二：将常数拆成，则有
3. 在证明题中的应用。
例：求证：多项式的值一定是非负数。
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明： 设，则。
4. 因式分解中的转化思想。
例：分解因式：
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=a，b+c=b，a+2b+c=a+b
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
5、用十字相乘法把二次三项式分解因式。
知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式。
进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
1. 在方程、不等式中的应用。
例1. 已知：，求x的取值范围。
2. 在几何学中的应用。
例。 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足。
求长方形的面积。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
2. 因式分解简单应用。
利用因式分解解决计算、求值、解方程及证明问题，解题时主要是把所研究的问题转化为因式分解问题。对于较复杂的数值计算可利用字母代换的方法加以简化。
例题】1. 提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，把这个因式提出来，作为多项式的一个因式，再用这个因式去除这个多项式，把所得的商作为另一个因式，这种因式分解的方法叫做提取公因式。
提公因式法是因式分解中的首选方法，不能提公因式或者提公因式后再选择其它方法。公因式的取法为：系数取各项整数系数的最大公约数（第一项系数为负，一般提出负号）。
字母取各项的相同字母（有时为多项式）。字母的指数取相同字母的最低指数。
例1、 分解因式：
1)ma+mb
2)m(a-b)+n(b-a)
例2、分解下列各式：
2. 公式法：由于整式乘法和因式分解是互逆的过程，把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法。
用此法分解因式时，首先要分析该多项式是否具有可用公式的特点。例如，如果多项式是二项式，就可以考虑运用两数和乘以两数差的公式，；如果多项式是三项式，就可以考虑运用两数和的平方公式，即。
例3、把下列各式分解因式：
3. 十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
二次三项式的因式分解问题，只要把二次项系数a分解成两个因数和的积，常数项c分解成两个因数和的积，且使+=b，则有。因为一个整数分解成两个因数积得形式不唯一，且要满足上述条件，故常用十字相乘的形式进行试算，最后确定分解的结果。具体看下面例题：
反之。例4、分解因式：
例5、填写下列各式：
4. 分组分解法：对于一个多项式，它的各项没有公因式，也不能直接使用公式来分解，这时一般采用分组分解法来进行因式分解。
其分组的原则是：分组后的各组变形后能有公因式可提；分组后可利用公式或十字相乘法继续分解因式。
1）如果多项式是四项式，则考虑二二分组或者三一分组。其中二二分组中的两项能运用两数和乘以两数差的公式或提公因式；三一分组中的三项一般能运用两数和的平方公式，一项是常数。
例6、把下列各式分解因式：（1）； 2）
2）如果多项式是五项式，则考虑三二分组。其中的三项一般能运用两数和的平方公式，两项则能提公因式。
3）例7、把因式分解。
4）（３如果多项式是六项式，则考虑三三分组或者三二一分组。其中三三分组中的三项能运用两数和的平方公式，然后再用两数和乘以两数差的公式因式分解；三二一分组中的三项一般能运用两数和的平方公式，两项则能提公因式，一项是常数，再考虑运用两数和的平方公式因式分解。
例8、把下列各式分解因式：
例9、将因式分解。
5. 配方法：配方法是二次三项式进行因式分解的重要方法。配方法的基本步骤是二次三项式的二次项系数化为一，加上并减去一次项系数一半的平方。
例10、把下列各式分解因式。
6. 因式分解的简单应用。
例11、计算：
例12、已知a+b=1,求的值。
练习作业】1. 将下列各式分解因式：
1）ax-3by-3ay+bx； （2）；（3）；
2. 已知x=y+1,求多项式的值。
3. 求证：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
4. 求证：能被120整除。
5. 计算：（1）；
1、用提公因式法把多项式进行因式分解。
知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解。
分类解析】1. 把下列各式因式分解。
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解： 2. 利用提公因式法简化计算过程。
例：计算。分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
3. 在多项式恒等变形中的应用。
例：不解方程组，求代数式的值。
分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。
解： 把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是。
4. 在代数证明题中的应用。
例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
对任意自然数n，和都是10的倍数。
一定是10的倍数。
5、中考点拨：
例1。因式分解。
解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
例2．分解因式：
解： 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：例1. 计算：
精析与解答： 设，则。
说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中重复出现，又有的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用。
例：已知多项式有一个因式是，求的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。
解：根据已知条件，设。
则。由此可得。
由（1）得。
把代入（2），得。
把代入（3），得。
3. 在几何题中的应用。
例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。
分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。
因式分解 八年级
因式分解。知识点讲解 五种方法 带 的不要求 提公因式法。例1 例2 套用公式法 公式完全平方 和 差 公式 平方差公式 立方 和 差 公式 分组分解法 例 十字相乘法 例 双十字相乘法 也可选择待定系数法分解 例 对于较复杂的多项式进行因式分解，可以采用多项式除法来帮助进行因式分解，例如 将进行因...
八年级因式分解
个性化教学辅导教案。学科 数学年级 八年级任课教师 授课时间 2018 年春季班第3周 例1 用提公因式法分解因式。例2 用平方差公式分解因式。1 16x2 6423 x y 2 9 x y 2 例3 用完全平方公式分解因式。1 9 12a 4a2 2 3 2a3b2 8a2b2 8ab2 4 例4...
八年级因式分解
隆盛中学学案。八年级科目数学执笔邓忠乾审阅审核 教学过程。一 自主学习 一 自学阅读教材196 198页 二 导学练习。1 复习提公因式法分解因式法则关键是找各项中的 因式 2提出问题 你能将多项式x2 4与多项式y2 25分解因式吗。思考 是否需要注意单位统一？216 28 而216，28是同底数...