初三数学切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段知识精讲。
一。 本周教学内容：
切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段。
学习目标］1. 切线长概念。
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2. 切线长定理。
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3. 弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线ab切⊙o于p，pc、pd为弦，图中几个弦切角呢？（四个）
4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7. 与圆有关的比例线段。
8. 圆幂定理：过一定点p向⊙o作任一直线，交⊙o于两点，则自定点p到两交点的两条线段之积为常数||（r为圆半径），因为叫做点对于⊙o的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
例1. 如图1，正方形abcd的边长为1，以bc为直径。在正方形内作半圆o，过a作半圆切线，切点为f，交cd于e，求de：ae的值。
图1解：由切线长定理知：af＝ab＝1，ef＝ce
设ce为x，在rt△ade中，由勾股定理。
∴，例2. ⊙o中的两条弦ab与cd相交于e，若ae＝6cm，be＝2cm，cd＝7cm，那么cecm。
图2解：由相交弦定理，得。
ae·be＝ce·de
∵ae＝6cm，be＝2cm，cd＝7cm，∴，即。
∴ce＝3cm或ce＝4cm。
故应填3或4。
点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3. 已知pa是圆的切线，pcb是圆的割线，则___
解：∵∠p＝∠p
∠pac＝∠b，∴△pac∽△pba，∴，
又∵pa是圆的切线，pcb是圆的割线，由切割线定理，得。
∴，即 ，故应填pc。
点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
例4. 如图3，p是⊙o外一点，pc切⊙o于点c，pab是⊙o的割线，交⊙o于a、b两点，如果pa：pb＝1：
4，pc＝12cm，⊙o的半径为10cm，则圆心o到ab的距离是cm。
图3解：∵pc是⊙o的切线，pab是⊙o的割线，且pa：pb＝1：4
∴pb＝4pa
又∵pc＝12cm
由切割线定理，得。
∴pb＝4×6＝24（cm）
∴ab＝24－6＝18（cm）
设圆心o到ab距离为d cm，由勾股定理，得。
故应填。例5. 如图4，ab为⊙o的直径，过b点作⊙o的切线bc，oc交⊙o于点e，ae的延长线交bc于点d，（1）求证：；（2）若ab＝bc＝2厘米，求ce、cd的长。
图4点悟：要证，即要证△ced∽△cbe。
证明：（1）连结be
又∵，∴厘米。
点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。
例6. 如图5，ab为⊙o的直径，弦cd∥ab，ae切⊙o于a，交cd的延长线于e。
图5求证：
证明：连结bd，∵ae切⊙o于a，∴∠ead＝∠abd
∵ae⊥ab，又ab∥cd，∴ae⊥cd
∵ab为⊙o的直径。
∴∠adb＝90°
∴∠e＝∠adb＝90°
∴△ade∽△bad
∵cd∥ab
∴ad＝bc，∴
例7. 如图6，pa、pc切⊙o于a、c，pdb为割线。求证：ad·bc＝cd·ab
图6点悟：由结论ad·bc＝cd·ab得，显然要证△pad∽△pba和△pcd∽△pbc
证明：∵pa切⊙o于a，∴∠pad＝∠pba
又∠apd＝∠bpa，∴△pad∽△pba
同理可证△pcd∽△pbc
∵pa、pc分别切⊙o于a、c
∴pa＝pc
∴ad·bc＝dc·ab
例8. 如图7，在直角三角形abc中，∠a＝90°，以ab边为直径作⊙o，交斜边bc于点d，过d点作⊙o的切线交ac于e。
图7求证：bc＝2oe。
点悟：由要证结论易想到应证oe是△abc的中位线。而oa＝ob，只须证ae＝ce。
证明：连结od。
∵ac⊥ab，ab为直径。
∴ac为⊙o的切线，又de切⊙o于d
∴ea＝ed，od⊥de
∵ob＝od，∴∠b＝∠odb
在rt△abc中，∠c＝90°－∠b
∵∠ode＝90°
∴∠c＝∠edc
∴ed＝ec
∴ae＝ec
∴oe是△abc的中位线。
∴bc＝2oe
例9. 如图8，在正方形abcd中，ab＝1，是以点b为圆心，ab长为半径的圆的一段弧。点e是边ad上的任意一点（点e与点a、d不重合），过e作所在圆的切线，交边dc于点f，g为切点。
当∠def＝45°时，求证点g为线段ef的中点；
图8解：由∠def＝45°，得，∴∠dfe＝∠def
∴de＝df
又∵ad＝dc
∴ae＝fc
因为ab是圆b的半径，ad⊥ab，所以ad切圆b于点a；同理，cd切圆b于点c。
又因为ef切圆b于点g，所以ae＝eg，fc＝fg。
因此eg＝fg，即点g为线段ef的中点。
模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题。
1. 已知：pa、pb切⊙o于点a、b，连结ab，若ab＝8，弦ab的弦心距3，则pa＝（
abc. 5d. 8
2. 下列图形一定有内切圆的是（ ）
a. 平行四边形b. 矩形。
c. 菱形d. 梯形。
3. 已知：如图1直线mn与⊙o相切于c，ab为直径，∠cab＝40°，则∠mca的度数（ ）
图1a. 50b. 40c. 60d. 55°
4. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ）
a. 8cmb. 10cmc. 12cmd. 16cm
5. 在△abc中，d是bc边上的点，ad，bd＝3cm，dc＝4cm，如果e是ad的延长线与△abc的外接圆的交点，那么de长等于（ ）
ab. cd.
6. pt切⊙o于t，ct为直径，d为oc上一点，直线pd交⊙o于b和a，b**段pd上，若cd＝2，ad＝3，bd＝4，则pb等于（ ）
a. 20b. 10c. 5d.
二、填空题。
7. ab、cd是⊙o切线，ab∥cd，ef是⊙o的切线，它和ab、cd分别交于e、f，则∠eof度。
8. 已知：⊙o和不在⊙o上的一点p，过p的直线交⊙o于a、b两点，若pa·pb＝24，op＝5，则⊙o的半径长为。
9. 若pa为⊙o的切线，a为切点，pbc割线交⊙o于b、c，若bc＝20，，则pc的长为。
10. 正△abc内接于⊙o，m、n分别为ab、ac中点，延长mn交⊙o于点d，连结bd交ac于p，则。
三、解答题。
11. 如图2，△abc中，ac＝2cm，周长为8cm，f、k、n是△abc与内切圆的切点，de切⊙o于点m，且de∥ac，求de的长。
图212. 如图3，已知p为⊙o的直径ab延长线上一点，pc切⊙o于c，cd⊥ab于d，求证：cb平分∠dcp。
图313. 如图4，已知ad为⊙o的直径，ab是⊙o的切线，过b的割线bmn交ad的延长线于c，且bm＝mn＝nc，若ab，求⊙o的半径。
图4参***]
一、选择题。
1. a2. c3. a4. b5. b6. a
二、填空题。
三、解答题：
11. 由切线长定理得△bde周长为4，由△bde∽△bac，得de＝1cm
12. 证明：连结ac，则ac⊥cb
∵cd⊥ab，∴△acb∽△cdb，∴∠a＝∠1
∵pc为⊙o的切线，∴∠a＝∠2，又∠1＝∠2，∴bc平分∠dcp
13. 设bm＝mn＝nc＝xcm又∵
又∵oa是过切点a的半径，∴oa⊥ab即ac⊥ab
在rt△abc中，由勾股定理，得，
由割线定理：，又∵
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