抛物线与存在性-3
一、解答题（共30小题）
1、（2006连云港）如图，已知抛物线y=px2﹣1与两坐标轴分别交于点a、b、c，点d坐标为（0，﹣2），△abd为直角三角形，l为过点d且平行于x轴的一条直线．
1）求p的值；
2）若q为抛物线上一动点，试判断以q为圆心，qo为半径的圆与直线l的位置关系，并说明理由；
3）是否存在过点d的直线，使该直线被抛物线所截得得线段是点d到直线与抛物线两交点间得两条线段的比例中项．如果存在，请求出直线解析式；如果不存在，请说明理由．
2、（2006柳州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过a（﹣1，0）、b（3，0）、n（2，3）三点，且与y轴交于点c．
1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点m及点c的坐标；
2）若直线y=kx+d经过c、m两点，且与x轴交于点d，试证明四边形cdan是平行四边形；
3）点p是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点p，使以点p为圆心的圆经过a、b两点，并且与直线cd相切，如果存在，请求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由．
3、（2006临沂）如图1，已知抛物线的顶点为a（0，1），矩形cdef的顶点c、f在抛物线上，d、e在x轴上，cf交y轴于点b（0，2），且其面积为8．
1）求此抛物线的解析式；
2）如图2，若p点为抛物线上不同于a的一点，连接pb并延长交抛物线于点q，过点p、q分别作x轴的垂线，垂足分别为s、r．
求证：pb=ps；
判断△sbr的形状；
试探索**段sr上是否存在点m，使得以点p、s、m为顶点的三角形和以点q、r、m为顶点的三角形相似，若存在，请找出m点的位置；若不存在，请说明理由．
4、（2006泸州）如图，已知二次函数y=（1﹣m）x2+4x﹣3的图象与x轴交于点a和b，与y轴交于点c．
1）求点c的坐标；
2）若点a的坐标为（1，0），求二次函数的解析式；
3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点p，使以p、o、b为顶点的三角形与△aoc相似？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
5、（2006龙岩）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴交于a，b，c三点，点a的横坐标为﹣1，过点c（0，3）的直线y=﹣x+3与x轴交于点q，点p是线段bc上的一个动点，ph⊥ob于点h．若pb=5t，且0＜t＜1．
1）确定b，c的值；
2）写出点b，q，p的坐标（其中q，p用含t的式子表示）；
3）依点p的变化，是否存在t的值，使△pqb为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
6、（2006内江）已知，二次函数y=mx2+3（m﹣）x+4（m＜0）与x轴交于a、b两点，（a在b的左边），与y轴交于点c，且∠acb=90度．
1）求这个二次函数的解析式；
2）矩形defg的一条边dg在ab上，e、f分别在bc、ac上，设od=x，矩形defg的面积为s，求s关于x的函数解析式；
3）将（1）中所得抛物线向左平移2个单位后，与x轴交于a′、b′两点（a′在b′的左边），矩形d′e′f′g′的一条边d′g′在a′b′上（g′在d′的左边），e′、f′分别在抛物线上，矩形d′e′f′g′的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
7、（2006钦州）如图，在平面直角坐标系中，矩形oabc的顶点o为原点，e为ab上一点，把△cbe沿ce折叠，使点b恰好落在oa边上的点d处，点a，d的坐标分别为（5，0）和（3，0）．
1）求点c的坐标；
2）求de所在直线的解析式；
3）设过点c的抛物线y=2x2+bx+c（b＜0）与直线bc的另一个交点为m，问在该抛物线上是否存在点g，使得△cmg为等边三角形？若存在，求出点g的坐标；若不存在，请说明理由．
8、（2006衢州）在等腰梯形abcd中，已知ab=6，bc=，∠a=45°，以ab所在直线为x轴，a为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形abcd饶a点按顺时针方向旋转90°得到等腰梯形oefg（o﹑e﹑f﹑g分别是a﹑b﹑c﹑d旋转后的对应点）（图1）
1）写出c﹑f两点的坐标；
2）等腰梯形abcd沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的oa=x（图2），等腰梯形abcd与等腰梯形oefg重叠部分的面积为y，当点d移动到等腰梯形oefg的内部时，求y与x之间的关系式；
3）线段dc上是否存在点p，使efp为等腰三角形．若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．
9、（2006双柏县）如图，边长为4的正方形oabc的顶点o为坐标原点，点a在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上．动点d**段bc上移动（不与b，c重合），连接od，过点d作de⊥od，交边ab于点e，连接oe．
1）当cd=1时，求点e的坐标；
2）如果设cd=t，梯形coeb的面积为s，那么是否存在s的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．
10、（2006**）已知抛物线c1：y=﹣x2+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为a，与y轴交于点c；抛物线c2与抛物线c1关于y轴对称，其顶点为b，连接ac，bc，ab．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为．
1）请在横线上直接写出抛物线c2的解析式。
2）当m=1时，判定△abc的形状，并说明理由；
3）抛物线c1上是否存在点p，使得四边形abcp为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
11、（2006武汉）（人教版）已知：二次函数y=x2﹣（m+1）x+m的图象交x轴于a（x1，0）、b（x2，0）两点，交y轴正半轴于点c，且x12+x22=10．
1）求此二次函数的解析式；
2）是否存在过点d（0，﹣）的直线与抛物线交于点m、n，与x轴交于点e，使得点m、n关于点e对称？若存在，求直线mn的解析式；若不存在，请说明理由．
12、（2006梧州）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于a，b两点，交y轴于点c，已知抛物线的对称轴为x=1，b（3，0），c（0，﹣3）．
1）求这个抛物线的解析式；
2）在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于m，n两点，以mn为直径作圆与x轴相切，求此圆的直径；
3）在抛物线的对称轴上是否存在一点p，使点p到b，c两点间的距离之差最大．若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
13、（2006襄阳）在如图所示的直角坐标系中，四边形oabc是边长为2的正方形，d为x轴上一点，连接bd交y轴于e点，且tan∠cbe=．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过a、c、d三点，顶点为f．
1）求d点坐标；
2）求抛物线的解析式及顶点f的坐标；
3）在直线db上是否存在点p，使四边形pfdo为梯形？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由．
14、（2006厦门）已知抛物线y=2x2，⊙o与抛物线交于a、b两点，ab两点所在的直线为l，⊙o的半径为2．
1）当x＞xb时，抛物线上存在一动点c，则随着c点的向上运动，三角形abc面积不断增加，问三角形abc面积每秒的增加量△s是什么？友情提醒：c点的速度为v0s﹣1；
2）存在一点d在劣弧ab上运动（不与a、b重合）设d（h，k），问抛物线上是否存在点e使得三角形abd与三角形abe的面积相等，若存在，求出点e，若不存在，请说明理由；
3）f（m，n）（m＞0）是抛物线y=2x2上的点，of⊥fg，g（a，0）（a＞m）．△ofg的面积为s，且s=4n4．n是不大于40的整数，求of2的最小值；
4）在抛物线上取两点j、k，xj＜0，xk＞0，连接oj、jk、ok，使得角okj=60°，再以ok、oj、jk分别作等边三角形okl、ojm、okn，请你求出经过m、n、l三点的抛物线的解析式．
15、（2006孝感）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点m，与y轴的交点为a，过点a的直线y=x+c与x轴交于点n，与这个二次函数的图象交于点b．
1）求点a、b的坐标（用含b、c的式子表示）；
2）当s△bmn=4s△amn时，求二次函数的解析式；
3）在（2）的条件下，设点p为x轴上的一个动点，那么是否存在这样的点p，使得以p、a、m为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请写出符合条件的所有点p的坐标；若不存在，请说明理由．
16、（2006襄阳）已知：ac是⊙o的直径，点a、b、c、o在⊙o上，oa=2．建立如图所示的直角坐标系．∠aco=∠acb=60度．
1）求点b关于x轴对称的点d的坐标；
2）求经过三点a、b、o的二次函数的解析式；
3）该抛物线上是否存在在点p，使四边形pabo为梯形？若存在，请求出p点的坐标；若不存在，请说明理由．
17、（2006云南）如图，在直角坐标系中，o为坐标原点，平行四边形oabc的边oa在x轴上，∠b=60°，oa=6，oc=4，d是bc的中点，延长ad交oc的延长线于点e．
1）画出△ecd关于边cd所在直线为对称轴的对称图形△e1cd，并求出点e1的坐标；
2）求经过c、e1、b三点的抛物线的函数表达式；
3）请探求经过c、e1、b三点的抛物线上是否存在点p，使以点p、b、c为顶点的三角形与△ecd相似．若存在这样的点p，请求出点p的坐标；若不存在这样的点p，请说明理由．
18、（2006岳阳）如图抛物线y=，x轴于a、b两点，交y轴于点c，顶点为d．
1）求a、b、c的坐标；
2）把△abc绕ab的中点m旋转180°，得到四边形aebc：
求e点坐标；
试判断四边形aebc的形状，并说明理由；
3）试探索：在直线bc上是否存在一点p，使得△pad的周长最小，若存在，请求出p点的坐标；若不存在，请说明理由．
19、（2006永州）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点c，与y轴交于点b，点a为y轴正半轴上的一点，⊙a经过点b，o，直线bc交⊙a于点d．
1）求点d的坐标．
2）以oc为直径作⊙o'，连接ad，直线ad与⊙o'相切吗？为什么？
九年级数学结识抛物线
2.2 结识抛物线。一 教学目标。一 知识与能力 能够利用描点法作出函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质 比较两者的异同。二 过程与方法 经历探索二次函数图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。三 情感态度与价值观 通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次...
九年级数学结识抛物线
2.2结识抛物线。教材与学生现实分析 1 本节课要使学生明了y ax2的图象是抛物线，这是研究一般二次函数图象的基础，通过列表及画图，使学生理解y ax2的性质。2 本节课一开始直接给学生出示y x2，并作图及观察性质，这样，让学生能通过运用过去的知识经验去发现新知识，解决新知识，从而实现由掌握到迁...
九年级数学竞赛抛物线讲座
的符号决定抛物线的大致位置 抛物线关于对称，抛物线开口方向 开口大小仅与相关，抛物线在顶点处取得最值 抛物线的解析式有下列三种形式 一般式 顶点式 交点式 这里 是方程的两个实根 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键 注 对称是一...