专升本概率论复习题

发布 2022-10-11 16:44:28 阅读 9118

考试范围:第一章,第二章,第四章。

考试题型:6个小题,5个大题。

一、小题例题:

例1、事件a、b独立,p(a)=0.3,p(ab)=0.7,求p(b).【考点:加法公式,独立性】

解:加法公式:p(ab)=p(a)+p(b)-p(ab)

有a、b独立,则p(ab)=p(a)p(b)

p(ab)=p(a)+p(b)- p(a)p(b),即0.7=0.3+p(b)- 0.3p(b),则p(b)=

例2、p(a)= p(b)= p(ab)= 求p(b|).考点:对立事件,条件概率】

解:p(b|)=

例3、x的分布函数为f(x)= 求x的分布律。

解:例4、x~n(1,4),y的概率密度为,又,求cov(x,y).【考点:正态分布,指数分布,特殊分布的期望和方差,协方差】

解: ,cov(x,y)=2

例5、袋中有a个黑球,b个白球,每次从中取球一只,取后不放回,从中连续取球两次,求第二次取到白球的概率。【考点:不放回抽样】

解:a:第二次取到白球。

b1:第一次取球为黑球p(b1)=

b2:第一次取球为白球p(b2)=

p(a)=

二、大题例题:

第一章:例1、袋中有6球,4白2红,从袋取球两个,作放回抽样,求以下事件的概率。

两个白球两球同颜色至少有一个白球【考点:古典概率(等可能概率)】

解:6个球按顺序排列,前四个为白球,后两个为红球。

i:第一次取球号码。

j:第二次取球号码。

ij):n=66

a:两次取到白球。

a:包含k=44个基本事件。

p(a) b:两次取到红球。

b:包含k=22个基本事件。

p(b) c:两次取球同色。

c=ab由有限加性p(ab)=p(a)+p(b)=

d:至少取到一个白球。

d与b互为对立事件,d=,p(d)=p()

由对立事件的性质p(d)=p()=1- p(b)=

例2、彩票号码1~2000,某人从中随机抽取一张,若抽到的号码既不能被6整除,也不能被8整除,则他中奖,问此人中奖的概率为何?【考点:加法公式,对偶律】

解:a:抽到的号码能被6整除。

b:抽到的号码能被8整除。

c:抽到的号码既不能被6整除也不能被8整除。

1~2000中能被6整除的有333个,1~2000中能被8整除的有250个,1~2000中能被6和8共同整除的有83个,(24为6和8的最小公倍数)

c=,p(c)=p()=p()=1-p()=1-[ p(a)+p(b)-p(ab)]=1-()

例3、某训练班由甲、乙两单位的人员构成,其中甲单位人员占40%,乙单位人员占60%,若甲单位学员及格率为75%,乙单位学员及格率为50%,问全班学员及格率是多少?在全体合格学员中,甲、乙单位人员各占多大的比例?【考点:

全概率公式,贝叶斯公式】

解:在全体学员中随机抽取1人,a:抽到的学员为及格生。

b1:抽到的学员为甲单位人员,b2:抽到的学员为乙单位人员。

b1、b2为样本空间的一个分割。

全概率p(a)=p(b1)p(b1)+ p(b2)p(b2)=0.40.75+0.60.5=0.6

贝叶斯p(b1)=

p(b2)=

例4、i1、i2串联,i3、i4串联,同时i1串i2与i3串i4并联,四个电键闭合与否相互独立,又每个电键闭合的概率为p(0解:a:系统中电流通过。

ai:第i个电键闭合(i).

a=a1a2a3a4,p(a)=p(a1a2a3a4)=p(a1a2)+p(a3a4)-p(a1a2 a3a4)

p(a1)p(a2)+p(a3)p(a4)-p(a1)p(a2)p(a3)p(a4)=p2+p2-p4=2p2-p4

第二章:例1、汽车到达目的地的路上有四个信号灯,各个信号灯亮红灯与否相互独立,且每个信号灯亮红灯的概率为p(0解:分析可得,x可取0,1,2,3,4这5个值。

x的分布律如下:

例2、共进行了400次相互独立的射击,每次中靶的概率皆为0.02,问至少中靶两次的概率为何?【考点:二项分布,伯努利试验】

解:x:400次射击中中靶的次数,x~b(400,0.02).

p(x)=1-p(x<2)=

近似公式】,其中。(k=0,1,2,)(泊松公式)

同时,规定0!=1.

式中。则,则p(x)=1-9e-8.

例3、求f(x),p(x),p(解:f(x)= p(x)=p.

p(x)= f()=

p(例4、x~n(1,4),求p(0解:p(0例5、实际温度x~n(d,0.52),(单位℃),若欲p(x≥80)≥0.99,问d至少要定在多少度?

解:设定在d℃,x~n(d,0.52)

0.99≤p(x≥80)=1-p(x<80)=1-p(x≤80)=1-p(≤)1- =

查表得=0.99,则。

答:至少要定到81.164℃.

例6、x的分布律如下:

又y=(x-1)2,求y的分布律。【考点:随机变量函数的分布】

解:y=(x-1)2

则y的分布律为:

例7、,y=2x+8,求。

解:第四章:

例1、旅客8:00到站旅客8:20到站。

x:旅客候车时间(分),求e(x).【考点:数学期望e(x)】

解: x的分布律如下:

e(x)=10+30+50=

x的分布律如下:

e(x)=10+30+50+70+90=

例2、景区观光大巴有20人,有10处景点站,有人下车即停,乘客在各站下车概率相同,均为,各个乘客下车概率均相互独立,x:汽车停车总次数,求e(x). 考点:数学期望e(x)】

解:定义随机变量xi为汽车在第i个车站停车次数(i),则xi的分布律为。

e(xi)= 1-(1-)20=1-()20(i)

x=x1+x2++x10

e(x)=e(x1+x2++x10)=10 e(xi)=10[1-()20]

考点】书上379页几种常用概率分布的期望e(x)和方差d(x):

0-1分布二项分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布。

考点】书上380页协方差cov(x,y),相关系数。

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