复习。一、事件与概率。
1．事件间的运算。
包含，相等，并（和），交（积），差，互斥（不相容），对立。
重要运算公式： ，
2．概率的性质。
2），特别若，有；（3）
例1设为随机事件，，
则都不发生的概率为。
3. 条件概率。
若，则。例2 设随机事件互不相容，且，，则
4．全概率公式和贝叶斯公式。
1）全概率公式：
其中为样本空间的一个划分。
2）贝叶斯公式：
5. 独立性（注意与不相容的区别）
若，则称两事件相互独立。
若三事件两两独立，且，则称三事件相互独立。
性质1. 四个事件中，若与相互独立，则与，与。
与都相互独立。
性质2. 若事件中有一事件的概。
率为0，则相互独立；若事件
中有一事件的概率为1，则也相。
互独立。6. 古典概型、几何概型与贝努利概型。
（1）古典概型
例3 袋中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机的从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 ；若取后放回，则第二人取得黄球的概率是 。
2）几何概型
例4 在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为。
二． 一维随机变量。
一）分布函数。
1.定义。2.性质。
二）离散型随机变量。
1．分布列，非负性，正规性。
2．函数的分布列。
例1 设离散型的分布列为。
则（1）a= ;
3)的分布函数 ;
4)的分布列 ；
例2 设离散型的分布函数为，则的分布列为。
三．连续型
1. 概率密度：
若。2.性质。
4）在连续点上
(5)是连续函数。
3. 函数的密度。
例2 设连续型的密度。
则（1）a= ;
3)的分布函数 ;
4)的密度 ；
例3 设服从参数为λ的指数分布。现对x作三次独立重复的观测，其中至少有一次观测值大于2的概率为，求λ.
练习1：设随机变量x的概率密度为，现对x进行4次独立重复观测，以y表示观测值不大于0.5 的次数，则y的分布列为。
练习2 设随机变量x服从参数为λ的指数分布，求的概率密度 。
练习3 设连续型随机变量x的分布函数为，求（1）常数a和b；（2）x的概率密度；（3）概率。
三。 二维随机变量及其分布。
一) (x,y)的分布函数。
1.定义。2.性质。
二）二维离散型 联合分布列及边缘分布列。
1. 联合分布列：
满足非负性，归一性。
2. 边缘分布列。
三）联合概率密度及边缘概率密度
1. 非负性，正规性。
3. 边缘概率密度：
4. 条件密度。
四）随机变量的独立性：
x与y相互独立。
对任意都成立。
1．离散型与y相互独立。
对任意都成立。
2．连续型 x与y相互独立对的所有连续点都成立。
五)函数的分布。
1．两个离散型函数的分布。
2．两个连续型函数的分布。
1） 分布函数法，2） 公式法。
a) 当时，b) 当，且相互独立，，。
例1设与y的联合分布列为。
且，（1）问常数应取何值；（2）当取（1）中的值时，与是否独立？为什么？
3) 函数z=x－ｙ的分布列
练习1 设
已知p=2/3，求（1）a,b.
2)的分布列。
练习2 设u~u[-2,2]
定义 求（1）（x,y）的分布列。
2)的分布列。
例2 设二维的概率密度为。
求（1）求a ;
2)x和y的边缘概率密度。
3) 独立吗？
4）条件密度。
5）p练习： 设二维随机变量在区域 d上服从均匀分布，其中，求。
1) x和y的边缘概率密度。
2) 概率。
例3 设与y相互独立，x~u[0,1], y~ε(1),求。
的密度。四． 随机变量的数字特征。
一）数字特征量。
1． 数学期望。
若是离散型。
1） 若ｘ的分布列为。
则。２）若（为连续函数），则。
3）若（为连续函数），则。
若是连续型。
（１）若ｘ的概率密度为，则。
２）若（为连续函数），则。
3）若（为连续函。
数），则。2. 方差。
3. 协方差：相关系数：
二）性质。1) e(ax+by+c)=aex+bey+c
2) d(ax+b)=a2dx
7)，8) x,y不相关。
注意独立与不相关的关系）
例4 设是相互独立并且均服从参数为p的(0-1)分布的随机变量，试求，的数学期望。
例5 设二维随机变量(x,y)的概率密度为。
求e(x-y), e(xy).
例6 （1）设dx=25,dy=9, ρxy=0.4，则d(x-2y)=
2）设x，y，z是三个两两不相关的数学期望均为0，方差都为，求x-y与y-z的相关系数。
练习1 设随机变量的相关系数，且，试求的联合分布。
练习2 设随机变量x,y满足dx=1,dy=4,cov(x,y)=1，记，，求。
五．常见分布。
二点、二项、泊松、均匀（一维与二维），正态、指数、二维正态。
1.记住分布列、密度、特征量。
2. 性质。
1）独立正态变量x、y的线性组合仍服从正态分布。
2）非标准正态分布的概率计算。
3）二维正态(x,y)具有。
ax+by+c服从正态分布。
边缘是正态。
条件分布是正态。
独立与不相关等价。
例7 设，则。
1）p= ;
2) z=2x-y+3的密度为 。
练习1 设x表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，求的数学期望。
练习2 巳知随机变量x的密度函数为，求ex。
练习3 设， ,x,y
相互独立，求。
练习4 设随机变量，且，则 ；
练习5 某工厂生产的电子管的寿命x(以小时计)服从正态分布，如果要求寿命在1200小时以上的概率不小于，求的值。
练习6 设x，，且x,y相互独立，则=
六．极限定理。
1．切比雪夫不等式估计概率。
2.大数定律。
3.中心极限定理（独立同分布和的极限分布）
练习1 巳知两个独立的随机变量x和y满足，，，根据切比雪夫不等式，估计概率。
练习2 甲、乙两批种子混杂在一起，其中甲占70%，乙占30%，而甲的发芽率为0.9，乙的发芽率为0.7，现从该批种子中任取1000粒，试求发芽数不超过860粒的概率是多少。
概率论复习
概率论a卷。一 填空题 每题4分，共20分 1 假设。1 若a与b互不相容，则。2 若a与b互相独立，则。2 设随机变量x b n，p 已知ex 3.5,dx 1.05,那么，n p 3 设随机变量x p 已知p x 1 p x 2 那么 4 设随机变量x n 2，4 那么，标准差 p x 2 5 ...
概率论复习
例1.20 20.已知5 的男人和0.25 的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率 假设男人和女人各占人数的一半 解 设a b 则由贝叶斯公式。26.将两信息分别编码为a和b传递出来，接收站收到时，a被误收作b的概率为0.02，而b被误收作a的概率为0.01.信息a与b传递...
概率论复习
第四章正态分布 4学时 第一节正态分布 重点 一 引入正态分布的背景。二 正态分布的概念及图形特征。三 正态分布的上分位数。四 正态分布的基本性质。五 正态分布的计算。六 正态分布的数学期望与方差。七 正态分布的3 原则。2 二项分布 泊松分布等随机变量，其极限分布都是正态分布 1 正态分布的定义。...