概率论部分。
第1章随机事件与概率。
一、随机事件。
1、随机实验e
随机事件a=
2、样本空间=，样本点w：每一个可能的结果。
3、事件的关系与运算（类似集合运算）
（1）包含关系：a发生必然b发生。
（2）相等关系a=b
（3）a与b的并或和：a、b至少有一个发生。
（4）a与b的交或积：a、b同时发生。
（5）互不相容关系：a、b不可能同时发生。
（6）a与b的差：a发生而b不发生。
（7）对立关系：a不发生。
其中事件并与交的运算律。
（1）交换律。
（2）结合律。
（3）分配律。
（4）德摩根定律： 、
例子： 表示至多两个事件发生或三个事件不同时发生。
例子： 表示三个事件同时不发生。
2、随机事件的概率。
1、古典概型的概率计算。
注意：（1）中样本点的发生是等可能的。
（2）计算样本点个数时，要熟悉排列组合的计算。
加法原理：完成一件事情需分类讨论。
乘法原理：完成一件事情需分阶段讨论。
取球模型：需要考虑“有放回和无放回”、“取球的次序（第几次取或者所要取的球之间需要排序）”
球放杯子模型：需要考虑每个杯子可放多个球或只能放一个球。
例如：某一袋中有球5白3红，不放回接连取两球。求下列事件的概率：
1.至少取1白球？
2.第一次取白第二次也取白？
3.第二次取白？
4.第二次才取到白？
4.若还有一袋有6白2红，任取一袋，取两球都是白。
5.若放回，取两球都是白。
解：注意先设好事件。
1.设a“取到一红一白球”，b“取到两白球”
2.设a第一次取白第二次也取白。或。
或。5.利用全概率公式计算（分类+条件概率），设为第一袋，为第二袋。
3、概率的运算。
1、加法公式（分类讨论问题）
特别地，若，则。
2、条件概率（在a已发生的条件下，b发生的概率）
3、乘法公式（分阶段讨论问题）
4、全概率公式（分类+分阶段讨论，注意划分）
若，且（即完备事件组），则。
5、事件的独立性。
另外，三个事件的相互独立定义。
6、n次独立重复试验（a恰好发生m次）
例如，设事件a与b相互独立，p(a)=0.2，p(b)=0.3，则p()=
设事件a与b互不相容，p(a)=0.2，p(b)=0.3，则p()=
第二章一维随机变量的分布。
1、离散型随机变量的分布。
1、离散型x的分布列（表）
1） 定义：
2）性质：
2、离散型x的分布函数。
1）定义：
2）性质：单调不减、右连续、有界性、
3、几种常见分布。
1）两点分布。
2）二项分布。
3）泊松分布。
4）几何分布*
2、连续型随机变量的分布。
1、连续型x的密度函数。
1）定义：满足式子。
2）性质：；；
2、连续型x的分布函数。
1）定义：
2）性质：连续；有界性；单调不减。
3）与的关系。
4）在函数图上的几何意义。
3、几种常见分布。
1）均匀分布。
2）一般正态分布。
几何意义：密度函数图。
3）标准正态分布（利用标准正态分布表计算概率）
注意：几何意义关于轴对称，
一般正态分布通过换元法转化为标准正态分布。
换元：，得到。
例如，设则p（x8）=
4）指数分布（寿命分布）
3、随机变量函数的分布。
1、离散型的分布列。
求法：已知离散型的分布列，求的分布列？
先写出，再将相同的取值合并，对应的概率相加。
2、连续型的密度函数。
求法：已知连续型x的密度函数或分布函数，求的密度函数或分布函数？
先求。再求。
第3章二维随机变量的分布。
一、 二维离散型随机变量。
1、（x,y）的联合分布列。
1）定义：
2）性质：非负性，规范性。
2、（x,y）的联合分布函数。
定义： 3、（x,y）的边际分布列。
定义。二、 二维连续型随机变量。
1、(x,y)的联合密度函数。
1）定义：
2）性质：非负性，规范性。
3）区域概率计算：转化为二重积分。
例子：设随机变量(x,y)的联合密度函数。
试求：(1)常数k;
2、(x,y)的联合分布函数。
定义： 3、(x,y)的边际密度函数。
定义：三、 两随机变量的独立性。
1、离散型。
2、连续型
即若联合分布可分离变量，则独立。
四、二维随机变量函数*
1、离散型：已知(x,y)的联合分布列，将函数z=g (x, y)所有的函数取值求出，相等的值合并，对应的概率相加。
2、连续型：已知(x,y)的联合分布密度f(x,y)， 先求z=g(x, y)
的分布函数fz(z)，再求导得到z的密度函数 fz(z
第4章随机变量的数字特征。
1、数学期望（均值即期望值）
1、离散型x的数学期望。
1）定义：设x的分布列，则。
为一实数。2）几种常见分布对应的数学期望。
若，则。若，则。
若，则。3）二维情形*
2、连续型x的数学期望。
1）定义：设x的密度函数，则。
2）几种常见分布对应的数学期望。
若，则。若，则。
若，则。3）二维情形*
3、随机变量函数的数学期望。
1）离散型：设x的分布列，则。
2）连续型：设的密度函数，则。
3）二维情形*
4、数学期望的运算性质。
若x,y独立，.
2、方差（分散程度）
1、定义和计算公式。
（误差的平方的数学期望）
（常用计算公式）
2、离散型x的方差。
1）定义：设x的分布列，则。
2）几种常见分布对应的方差。
若，则。若，则。
若，则。3、连续型x的方差。
1）定义：设x的密度函数，则。
2）几种常见分布对应的方差。
若，则。若，则。
若，则。4、方差的运算性质。
若x,y独立，
例如，设则。
三、协方差（两个变量的总体误差）
1、定义和计算公式。
2、协方差和独立的关系、协方差与方差的关系。
四、相关系数（变量之间的相关性）
取值在[-1，1]之间。
例子：在电源电压不超过200伏、位于200～240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为，假设电源电压。试求：该电子元件损坏的概率。 (
解： 由全概率公式得：
考试题型：一、填空题（1-5题，每小题3分，共15分）
二、选择题（6-15题，每小题3分，共30分）
三、简答题（16-19题，每题 7 分，共28分）
四、解答题（20-21题，每题 10 分，共20分）
五、综合应用题(7分)
考试时间：请及时关注教务处通知或教学楼内通告，本学期会提前，可能两周后。
复习方法：多做往年期末试题。
最后希望同学们认真复习，考取好成绩！
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