第三章。
15、解：（1）
3）的边际分布，当时，当时有。
5）当时；当时有。
6）,利用（2）的结果可得。
21、解：（1）边际分布的密度函数为，当时；当时，同理，当时；当时。，所以与独立。
2）边际密度函数为，当时；当时。
当时；当时。
在区域中均有，所以与不独立。
23、证：当时，其余。同理当时，其余当时有，所以与不独立。
现试能动分布函数来证与独立。的分布函数记为，则当时，同理可求得的分布函数，得。
联合分布函数记为，则当时。
同理得当时；当时。
合起来写得
不难验证对所有都成立，所以与独立。
26、证：（1）由褶积公式及独立性得。
这就证明了具有普阿松分布，且参数为。
证毕。31、解：作变换，令，得。由与独立知，它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得u，v的联合密度函数为。
所以u,v两随机变量也相互独立，且均服从n（0，2）。
第四章。1、解：，令，则，且，。
采用同样的方法并利用得。
2、解：设表取一球的号码数。袋中球的总数为，所以。
4、解：设表示抽出k张卡片的号码和，表示第i次抽到卡片的号码，则，因为是放回抽取，所以诸独立。由此得，对。6、解：
11、证：设是的密度函数，则。由是奇函数可得，从而。又由于是奇函数，得。
故与不相关。
由于的密度函数是偶函数，故可选使，亦有，其中等式成立是由于。由此得与不独立。
14、证：，欲，题中需补设与同号。
15、解：（一）证(1)(2)，设（1）成立，即两两不相关，则。
（2）成立。
二）(1)(3)。设。
并设与独立，则。
记）：，由第三章25题知，两两独立，从而两两不相关，满足（1）。而，这时，（3）不成立。
三）(2)(1)。设，则。
满足（2）。但显然两两相关，事实上由得与相关，（1）不成立。
四）(2)(3)。事实上，由(1)(2)，(1)(3)得必有(2)(3)。
五）(3)(2)。设。
则。再设与独立，从而的函数与也独立，我们有，，满足（3）。但。
（2）成立。
六）(3)(1)。事实上，由(1)(2)，(3)(2)得必有(3)(1)。
七）当相互独立时，(1)，(2)，(3)同时成立。
第五章。2、证：对任意，。
4、解：现验证何时满足马尔可夫条件，若，这时，利用间的独立性可得。
若，则 。所以当时，大数定律可用于独立随机变量序列。
5、证：（1），不满足马尔可夫条件。
满足马尔可夫条件。
3），不满足马尔可夫条件。
10、解：每个终端在某时刻使用的概率为0.05，表示在某时刻同时使用的终端数。则。
由积分极限定理得。
即有10个或更多个终端在使用的概率为0.047。
13、解：设需要投掷次，用车贝晓夫不等式得（p=0.5）
取。用积分极限定理得。取。
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