考研试题b
2024年全国硕士研究生入学考试数学试题四（三）（概率统计部分）
一、 填空题（每小题3分）
5)设随机变量x服从参数为λ的poisson分布，且已知e[(x-1)(x-2)]=1,则。
二、 选择题（每小题3分）
4)设随机变量x和y的方差存在且不等于0，则d(x+y)=d(x)+d(y)是x和y
a) 不相关的充分条件，但不是必要条件；
b) 独立的必要条件，但不是充分条件；
c) 不相关的充分必要条件；
d) 独立的充分必要条件。
5)假设随机变量x服从指数分布，则随机变量y=min(x,2)的分布函数。
b)是连续函数； (b)至少有两个间断点；
b)是阶梯函数； (d) 恰好有一个间断点。
十一、（8分）
设二维随机变量(x,y)在矩形上服从均匀分布，试求边长x和y的面积s的概率密度f(s).
十二、（8分）
已知随机变量和的概率分布。
而且 .1)求和联合分布；
2)问和是否独立？为什么？
考研试题b2024年全国硕士研究生入学考试数学试题四（三）（概率统计部分）
解答。一、 填空题（5）1
二、 选择题 （4）c；（5）d
十一、二维随机变量(x,y)的概率密度为。
设为s的分布函数，则当时，f(s)=0, 当时，f(s)=1.
设0s,位于曲线xy=s下方的点满足xy于是
十二、1）由 ，可得
因此， 和联合分布如下：
2）由以上结果，得
而 ，所以和不是独立的。
考研试题a2024年全国硕士研究生入学考试数学试题三（四）（概率统计部分）
一、 填空题（每小题3分）
4）在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使。
n的最小值应不小于自然数___
5)设随机变量 (i,j=1,2,…,n;n>1)独立同分布， ,则行列式
的数学期望ey=__
二、选择题（每小题3分）
5) 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以e表示事件“电炉断电”，设为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件e等于（ ）
a) ;b) ；
c) ；d) 。
十一、（8分）
设0.05，1.25，0.80，2.00是来自总体x的简单随机样本值，已知y=lnx服从正态分布n(μ,1).
1） 求x的数学期望e(x),(记e(x)为b).
2） 求μ的置信度为0.95置信区间。
3）; 利用上述结果求b的置信度为0.95置信区间。
十二、（8分）
设a,b是二随机事件，随机变量。
试证明随机变量x和y不相关的充分必要条件是a与b相互独立。
2024年全国硕士研究生入学考试数学试题三（四）（概率统计部分）
解答。一、 填空题（4）[1,3]；（5）8/9
二、 选择题 （5）c
十一、1）y的概率密度函数为。
于是 2)当置信度时，标准正态分布的分位数为1.96，由于 ，所以。
其中 从而（-0.98，0.98）就是的置信度为0.95置信区间。
3）由于函数严格单调增加，所以b的置信度为0.95置信区间是( )
十二、记 ,由数学期望的定义，知。
由于xy只有两个可能值1和-1，所以。
从而， 因此，cov(x,y)=0当且仅当 , 即x和y不相关当且仅当事件a与b相互独立。
考研试题c2024年全国硕士研究生入学考试数学试题三（四）（概率统计部分）
一、 填空题（每小题3分）
4) 设随机变量x的概率密度为。
若k使得 ，则k的取值范围是。
5）假设随机变量x在区间[-1,2]上服从均匀分布；随机变量。
则方差dy5) 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以e表示事件“电炉断电”，设为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件e等于（ ）
a) ;b) ；
c) ；d) 。
十一、（8分）
设0.05，1.25，0.80，2.00是来自总体x的简单随机样本值，已知y=lnx服从正态分布n(μ,1).
1） 求x的数学期望e(x),(记e(x)为b).
2） 求μ的置信度为0.95置信区间。
3）; 利用上述结果求b的置信度为0.95置信区间。
十二、（8分）
设a,b是二随机事件，随机变量。
试证明随机变量x和y不相关的充分必要条件是a与b相互独立。
考研试题c2024年全国硕士研究生入学考试数学试题三（四）（概率统计部分）
解答。一、 填空题（4）[1,3]；（5）8/9
二、 选择题 （5）c
十一、1）y的概率密度函数为。
于是 一、填空题（每小题3分）
5）假设随机变量x在区间[-1,2]上服从均匀分布；随机变量。
则方差dy2)当置信度时，标准正态分布的分位数为1.96，由于 ，所以。
其中 从而（-0.98，0.98）就是的置信度为0.95置信区间。
3）由于函数严格单调增加，所以b的置信度为0.95置信区间是( )
十二、记 ,由数学期望的定义，知。
由于xy只有两个可能值1和-1，所以。
从而， 因此，cov(x,y)=0当且仅当 , 即x和y不相关当且仅当事件a与b相互独立。
二、选择题（每小题3分）
4)设a,b,c三个事件两两独立，则a,b,c相互独立的充分必要条件是（）。
a）a与bc独立； (b)ab与a∪b独立；
c) ab与ac独立； (d) a∪b与a∪c独立。
5) 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以e表示事件“电炉断电”，设为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件e等于（ ）
a） ;b) ；
c) ；d) 。
十一、（8分）
设二维随机变量(x,y)的密度函数为。
其中都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别是1/3和-1/3，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。
1) 求随机变量x和y的密度函数 ，及x和y的相关系数 （可以直接利用二维正态密度的性质）。
2) 问x和y是否独立？为什么？
十二、（8分）
设a,b是二随机事件，随机变量。
试证明随机变量x和y不相关的充分必要条件是a与b相互独立。
考研试题d2024年全国硕士研究生入学考试数学试题四（三）（概率统计部分）
解答。一、 填空题（5）8/9
二、 选择题 （4）a；（5）c
十一、1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此和的两个边缘密度为标准正态密度函数，故。
同理， 由于x~n(0,1),y~n(0,1),可见。
e(x)=e(y)=0, d(x)=d(y)=1,随机变量x和y的相关系数。
2) 由题设。
所以x与y不独立。
十二、记由数学期望的定义，知。
由于xy只有两个可能值1和-1，所以。
从而， 因此，cov(x,y)=0当且仅当 , 即x和y不相关当且仅当事件a与b相互独立。
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