09年数学一（22）（本题满分11分）
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
ⅰ）求；ⅱ）求二维随机变量概率分布。
解析】（ⅰ在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球。
ⅱ）x，y取值范围为0，1，2，故。
23）（本题满分11 分）
设总体的概率密度为，其中参数未知，，,是来自总体的简单随机样本。
(ⅰ)求参数的矩估计量；
ⅱ）求参数的最大似然估计量。
解析】1）由。
而为总体的矩估计量。
2）构造似然函数。
取对数。令。
故其最大似然估计量为。
09 年数学三。
7）设事件与事件b互不相容，则（ ）
答案】 解析】因为互不相容，所以。
因为不一定等于1，所以不正确。
当不为0时，不成立，故排除。
只有当互为对立事件的时候才成立，故排除。
故正确。8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）
答案】 b解析】
独立。1）若，则。
2）当，则。
为间断点，故选（b）
14)设，,…是来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则
答案】 解析】由。
22）（本题满分11 分）
设二维随机变量的概率密度为。
求条件概率密度。
求条件概率。
解析】i）由得其边缘密度函数。故 即
ii）而。
23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。
求。求二维随机变量的概率分布。
解析】（ⅰ在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球。
ⅱ）x，y取值范围为0，1，2，故。
04年。13）设随机变量x服从正态分布n(0,1)，对给定的，数满足，若，则等于。
a) .b). c). d
14）设随机变量独立同分布，且其方差为令，则。
a) covb) .
cd22)（本题满分9分）
设a,b为随机事件，且，令。
求：（）二维随机变量(x,y)的概率分布；
（）x和y的相关系数。
23）（本题满分9分）
设总体x的分布函数为。
其中未知参数为来自总体x的简单随机样本，求：
）的矩估计量；
）的最大似然估计量。
分析】 此类问题的求解，可通过的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论。
详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，，于是。
即有 ，可见根据定义有，故应选(c).
评注】 本题相当于分位数，直观地有。
o分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：
详解】 cov(
评注】 本题(c),(d) 两个选项的方差也可直接计算得到：如。
22)（本题满分9分）
设a,b为随机事件，且，令。
求：（）二维随机变量(x,y)的概率分布；
（）x和y的相关系数。
分析】 先确定(x,y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(x,y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数。
详解】 （由于，所以， ，或），故(x,y)的概率分布为。yx01
) x, y的概率分布分别为。
x 0 1y 0 1
pp 则，，dy=, e(xy)=,故，从而。
评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。
23）（本题满分9分）
设总体x的分布函数为。
其中未知参数为来自总体x的简单随机样本，求：
）的矩估计量；
）的最大似然估计量。
分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。
详解】 x的概率密度为。
） 由于，令，解得，所以参数的矩估计量为。
）似然函数为。
当时，，取对数得。
两边对求导，得。
令，可得 ，故的最大似然估计量为。
评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特。
22）（本题满分9分）
设二维随机变量(x,y)的概率密度为。
求：（）x,y)的边缘概率密度；
（）的概率密度。
分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度。
详解】 （关于x的边缘概率密度。
关于y的边缘概率密度。
） 令，1） 当时，；
2） 当时。
3) 当时，
即分布函数为：
故所求的概率密度为：
23）（本题满分9分）
设为来自总体n(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记。
求：（）的方差；
（）与的协方差。
分析】 先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求与的协方差，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质。
详解】 由题设，知相互独立，且。
06年。22）随机变量的概率密度为，令，为二维随机变量的分布函数。
ⅰ）求的概率密度；（ⅱ解：
所以： 这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型。
23）设总体的概率密度为，其中是未知参数（0<<1）.
为来自总体的简单随机样本，记n为样本值中小于1的个数。求的最大似然估计。
解：对样本按照<1或者≥1进行分类： <1，≥1.
似然函数，在<1，≥1时，所以。
07年。23)设二维变量的概率密度为。
求；求的概率密度。
详解】：ⅰ），其中d为中的那部分区域；
求此二重积分可得。
当时，；当时，；
当时， 当时，
于是。24)设总体的概率密度为。
,…是来自总体的简单随机样本，是样本均值。
求参数的矩估计量；
判断是否为的无偏估计量，并说明理由。
详解】：ⅰ）记，则。
解出，因此参数的矩估计量为；
ⅱ）只须验证是否为即可，而，而，于是。
因此不是为的无偏估计量。
08年 22）（本题满分11分）
设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记。
1）求。2）求的概率密度．
23）（本题满分11分）
设是总体为的简单随机样本。记，
（1）证是的无偏估计量。
2）当时 ，求。
22)【详解】
(i) ii)
所以 23) 【详解】
i) 因为，所以，从而．
因为 所以，是的无偏估计。
ii)方法一：，，
所以。因为，所以，有，
所以。因为，所以，又因为，所以，所以。
所以 .方法二：当时。
(注意和独立)
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