第一章概率论的基本概念。
第一节随机试验。
一、随机试验e
1．试验可以在相同的条件下重复进行；
2．试验的可能结果不止一个，并且能事先。
明确试验的所有可能结果；
3．进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。
说明：随机试验简称为试验，随机试验通常用e来表示。
实例：“抛掷一枚硬币，观察字面，花面出现的情况”.
分析：1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；
2) 试验的所有可能结果：正面、反面；
3) 进行一次试验之前不能确定哪个结果会出现。
故为随机试验。
同理可知下列试验都为随机试验：掷骰子观察点数；一批产品任选三件其**与次品数；某地平均气温等。
第二节随样本空间、随机事件。
一、 样本空间。
样本空间ω随机试验的所有可能结果组成的集合．
样本空间ω 中的元素，即e 的每个结果，称为样本点．
样本点一般用ω表示，可记为ω =例：说明。
1. 同一试验， 若试验目的不同，则对应的样。
本空间也不同。
例如对于同一试验： “将一枚硬币抛掷2次”.
若观察正面h、反面t 出现的情况，则样本空间为。
s = 若观察正面出现的次数， 则样本空间为s=
2. 建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型。 因此， 一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题。
例如只包含两个样本点的样本空间s = 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型， 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型， 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等。
例：1. 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子之和。 s =
2. 生产产品直到得到10件**，记录生产产品。
的总件数s =
二、 随机事件。
随机试验e的样本空间ω的子集称为e的随机事件，简称事件。
例如，随机试验“抛骰子观察点数”的样本空间是s=
对于“骰子的点数是偶数点”，它是一个事件，即，显然，它是样本空间的一个子集。
基本事件：由一个样本点组成的单点集。
样本空间的两个特殊子集。
它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件。
它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生，称之为不可能事件。
当且仅当子集ａ中某个样本点出现时，称事件ａ发生。
事件间的关系与运算：
子事件：a b 事件a是事件b的子事件（含义：事件a发生必然导致事件b发生）
和事件：积事件：
差事件：ab=
事件ab称为事件a与事件b的差事件。
事件ab发生事件a发生而事件b不发生。
互斥：a∩b=则称事件a与事件b是互不相容的，或互斥的。
a∩b =事件a和事件b不能同时发生。
任一个随机试验e的基本事件都是两两互不相容的。
对立事件：运算规律：
注：这些规律可以推广到任意多个事件上去。
例：第三节频率与概率。
概率的公理化定义。
设e是随机试验，ω是它的样本空间，对e的每一个事件a，将其对应于一个实数，记为p(a )，称为事件a的概率，如果集合函数p()满足下列条件：
概率的性质：
例：第四节等可能概型（古典概型）概念：例：
注意：当样本空间中的元素较多时，一般不再将元素一一列出，只需分别求出样本空间和事件中元素的个数，再用计算公式即可求得相应的概率。
加法原理：做一件事共有n类方法，第一类有m1种方法，第二类有m2种方法……第n类有mn种方法，完成事件方法总数为n=m1+m2+……mn
乘法原理：做一件事有n步，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法……第n步有mn种方法，完成事件方法总数为n=m1m2……mn
排列组合的几个简单公式。
摸球问题：超几何分布概率公式：
分房问题：第五节条件概率。
一、 条件概率。
对a, b两个事件，p(a)>0在事件a发生的条件下事件b发生的概率称为条件概率，记作p(b|a)
例：二．乘法公式。
例：三．全概率公式与贝叶斯公式。
例：贝叶斯公式：
第六节独立性。
一． 独立性。例：例：
n重伯努利试验：
第二章一维随机变量及其分布。
第一节随机变量。
定义设x＝x (ω是定义在样本空间ω上的实值单值函数，称x＝x (ω为随机变量。
随机变量通常用大写字母x，y，z，w，..等表示。
例：掷一颗骰子，出现的点数x是一个随机变量。
电视机的寿命t是一个随机变量。
例：随机变量的分类：
1) 离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个，叫做离散型随机变量。
2) 连续型随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量。
第二节离散型随机变量及其分布律。
定义如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。
离散型随机变量表示方法。
还可用图形表示分布律，如：概率直方图，线条图等。
例：一）（0-1）分布。
二）伯努利试验与二项分布。
例：三）泊松分布。
例：第三节随机变量的分布函数。
定义设x是一个随机变量，x是任意实数，函数f(x)=p，称为x的分布函数。分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴．在几何上，它表示随机变量x的取值落在实数x左边的概率。
分布函数具有如下性质：
例：第四节连续型随机变量及其概率密度。
定义：概率密度具有以下两个性质：
注意连续型随机变量取任意值a的概率等于零。即p=0
例：均匀分布：
例：设随机变量x在[2,5]上服从均匀分布，对x的取值进行观测，试求观测值大于3的概率。
指数分布：设连续性随机变量x概率密度为。
其中λ>0为常数，则称x服从参数为λ的指数分布。
框内部分满足连续型随机变量两个基本性质）
指数分布的重要性质：“无记忆性”对于任意s,t > 0,有p=p
例：某种电子元件的寿命(以小时计)x服从指数分布，其概率密度为。
求元件寿命至少为1000小时的概率。
正态分布（高斯分布）
概率密度几何特征：
1） 曲线关于x = 对称。
2） 概率密度曲线以x轴为渐近线。
5） 当固定，改变的大小时，f(x)图形的形状不变，只是沿着x轴作平行移动。
特征1~4的图。
特征5的图。
特征6的图。
正态分布的分布函数。
标准正态分布：
例：已知x ~n(0,1),求p解：p
例设x ~n(0,1),求p(| x |≤0.34)
解：查标准正态分布表。p=p
例：第五节随机变量函数的分布。
定理：若f (x)在有限区间[a,b]以外等于零，则只需假设在[a,b]上恒有g’(x)> 0（或恒有g’(x)<0）,此时α=min,β=max
例：第三章。
第一节二维随机变量。
定义：设x,y是定义在样本空间ω上的两个随机变量，则（x,y）称为二维随机向量或二维随机变量。
分布函数的定义：
分布函数的基本性质：
二维离散型随机变量。
一、定义：若二维随机变量( x, y ) 所有可能取到的不相同的数对(xi , y j ),i, j=1,2,..是有限对或无限可列对时，则称( x, y ) 为二维离散型随机变量。
二、 分布律：
三、分布函数：
例：二维连续型随机变量。
定义：性质：
例：两个常见二维随机变量分布。
第二节边缘分布。例：例：
设有两个随机变量x,y，在给定y取某个或某些值的条件下，求x的概率分布，这个分布就是条件分布。
第三节条件分布。例：例：
第四节相互独立的随机变量。定义：例：
第五节两个随机变量的函数的分布。
一）z = x + y的分布。例：例：
二）m = max(x,y )及n = min(x,y )的分布。
第四章随机变量的数字特征。
第一节数学期望。
一、 离散型随机变量的数学期望。
定义1：例：
二、 连续型随机变量的数学期望。
定义2：例：
三、 二维随机变量的数学期望。
例：四、 随机变量函数的数学期望。
定理1：定理2：
例：数学期望的性质。
1.设c是常数，则有e(c) =c
2.设x是一个随机变量，c是常数，则有e(cx) =ce(x )
3.设x ,y是两个随机变量，则e(x + y ) e(x ) e(y )
4.设x ,y是相互独立的随机变量，则e(xy)= e(x )e(y )
例：第二节方差。
一、 方差的定义。
定义：离散型变量：
连续型变量：
计算方差一个重要公式：
例；二、 方差的性质。
例：三、 切比雪夫不等式。
定理：第三节协方差与相关系数。
一、 协方差。
定义1e称为随机变量x与y的协方差记为cov(x,y)
即cov(x ,y )=e
对于任意两个随机变量x和y
d(x±y)=d(x)+d(y)±2cov(x,y)
协方差的性质：
二、 相关系数。
定义2：相关系数性质：
例：第四节矩协方差矩阵。
定义。第五章大数定律和中心极限定理。
第一节大数定律。
定义1：定理1：
定理2：定理3（辛钦大数定律）：
第二节中心极限定理。
定理1：定理2(棣莫弗拉普拉斯中心极限定理)
概率论概率论X2019答案
华南农业大学期末考试试卷答案。2010 2011学年第 1 学期考试科目 概率论与数理统计 一 填空题 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15分 1 若，则。2 设随机变量的概率密度为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，则。3 设由来自正态总体容量为9的简单随机样本，得到样本均值，则...
概率论课程概率论教学大纲
课程编号 06603制定单位 统计学院制定人 执笔人 徐慧植审核人 任俊柏。制定 或修订 时间 2012年9月1日。江西财经大学教务处。概率论 课程教学大纲。一 课程总述。本课程大纲是以2010年统计学 金融学专业本科专业人才培养方案为依据编制的。课程名称英文名称课程性质总学时数开课院系编写人课程负...
《概率论与随机过程》概率论部分习题
概率论与随机过程 概率论部分习题。一 设a b c为三事件，用a b c运算关系表示下列事件 1 a发生，b与c不发生。2 a b c中至少有一个发生。3 a b c中至少有两个发生。4 a b c中不多于一个发生。二 填空。1 设a b为两个事件，且，则。2 若事件a发生必导致事件b发生，且 3 ...