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2024年初三数学《二次函数综合题》归类复习。
1．图像与性质：
例1．(2024年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为a（3，0），与y轴的交点为b（0，3），其顶点为c，对称轴为x=1．
1）求抛物线的解析式；
2）已知点m为y轴上的一个动点，当△abm为等腰三角形时，求点m的坐标；
3）将△aob沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△abc重叠部分的面积记为s，用m的代数式表示s．
2．旋转问题：
例2. （2014福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点o（0，0），a（2，0）．
1）写出该函数图象的对称轴；
2）若将线段oa绕点o逆时针旋转60°到oa′，试判断点a′是否为该函数图象的顶点？
3．与三角形结合：
例3．（2014广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点o，经过点a（1，）；点f（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点h．
1）求二次函数的解析式；
2）点p是（1）中图象上的点，过点p作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点m，求证：fm平分∠ofp；
3）当△fpm是等边三角形时，求p点的坐标．
4．与四边形结合：
例4．（2014福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片abc中，ac＞bc，点d，e，f分别在边ab，bc，ca上．
1）已知：de∥ac，df∥bc．①判断：四边形decf一定是什么形状？
②裁剪：当ac=24cm，bc=20cm，∠acb=45°时，请你探索：如何剪四边形decf，能使它的面积最大，并证明你的结论；
2）折叠：请你只用两次折叠，确定四边形的顶点d，e，c，f，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．
5．新定义题：
例5．（ 2014安徽省，第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点a（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
6．运动型问题：
例6．（ 2014广东，第25题9分）如图，在△abc中，ab=ac，ad⊥ab于点d，bc=10cm，ad=8cm．点p从点b出发，**段bc上以每秒3cm的速度向点c匀速运动，与此同时，垂直于ad的直线m从底边bc出发，以每秒2cm的速度沿da方向匀速平移，分别交ab、ac、ad于e、f、h，当点p到达点c时，点p与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
1）当t=2时，连接de、df，求证：四边形aedf为菱形；
2）在整个运动过程中，所形成的△pef的面积存在最大值，当△pef的面积最大时，求线段bp的长；
3）是否存在某一时刻t，使△pef为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
7．代数与几何综合：
例7. （2014广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：y=kx，抛物线c：y=ax2+bx+1．
1）当b=1时，l与c相交于a，b两点，其中a为c的顶点，b与a关于原点对称，求a的值；
2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线c都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若p是此抛物线上任一点，过p作pq∥y轴且与直线y=2交于q点，o为原点．求证：op=pq．
8．面积问题：
例8．（2014温州，第21题10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于a，b两点，它的对称轴与x轴交于点n，过顶点m作me⊥y轴于点e，连结be交mn于点f，已知点a的坐标为（﹣1，0）．
1）求该抛物线的解析式及顶点m的坐标．
2）求△emf与△bne的面积之比．
9．**型问题：
例9．（2014舟山，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，a是抛物线y=x2上的一个动点，且点a在第一象限内．ae⊥y轴于点e，点b坐标为（0，2），直线ab交x轴于点c，点d与点c关于y轴对称，直线de与ab相交于点f，连结bd．设线段ae的长为m，△bed的面积为s．
1）当m=时，求s的值．
2）求s关于m（m≠2）的函数解析式．
3）①若s=时，求的值；②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．
10．存在性问题：
例10．（2024年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为a、d（a在d的右侧），与y轴的交点为c．
1）直接写出a、d、c三点的坐标；
2）若点m在抛物线上，使得△mad的面积与△cad的面积相等，求点m的坐标；
3）设点c关于抛物线对称轴的对称点为b，在抛物线上是否存在点p，使得以a、b、c、p四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
11．应用题型：利润问题。
例11．（2014武汉2014武汉，第29题10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
1）求出y与x的函数关系式；
2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
12．求点的坐标问题：
例12．（2014武汉，第25题12分）如图，已知直线ab：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于a，b两点．
1）直线ab总经过一个定点c，请直接出点c坐标；
2）当k=﹣时，在直线ab下方的抛物线上求点p，使△abp的面积等于5；
初三数学二次函数
初三数学二次函数与二次方程检测题。组题人 闫冰程。一 选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求 1.抛物线的顶点坐标是 abcd.2.对于二次函数，下列命题中正确的是 a 函数图象开口方向不确定。b.当时，抛物线开口向下。c.此抛物线的对称轴是...
初三数学二次函数
1 下列抛物线，对称轴是直线 的是 a 2 b 2 2 c 2 2 d 2 2 2 某幢建筑物，从10米高的窗口a用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线 抛物线所在平面与墙面垂直，如图 如果抛物线的最高点m离墙1米，离地面米，则水流下落点b离墙距离ob是 a 2米 b 3米 c 4米 d 5米。3 已知...
初三数学二次函数
j2.1 二次函数所描述的关系。一，由实际问题探索二次函数。某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子 1 问题中有哪些变量？其中哪些是自变...