课时作业(二十) 三角函数的图象与性质。
一、选择题。
1.函数y=tan的定义域是( )
a. b.
c. d.
答案:d解析:y=tan=-tan,由x-≠+kπ,k∈z得x≠kπ+,k∈z,故应选d.
2.(2014·陕西)函数f(x)=cos的最小正周期是( )
a. b.π
c.2π d.4π
答案:b解析:∵t==πb正确,故应选b.
3.函数y=2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
a.2- b.0
c.-1 d.-1-
答案:a解析:∵0≤x≤9,∴-x-≤.
-≤sin≤1,∴-y≤2,最大值与最小值之和为2-,故应选a.
4.函数y=sin2x+sin x-1的值域为( )
a. b.c. d.
答案:c解析:f(x)=2-,sin x∈[-1,1],∴f(x)≤1,f(x)的值域为,故应选c.
5.(2015·浏阳模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)x∈r,其中ω>0,-π若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则( )
a.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数。
b.f(x)在区间[-3π,-上是增函数。
c.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数。
d.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数。
答案:a解析:∵t=6π,∴2kπ+,2kπ+(k∈z).
-π<令k=0得φ=.
f(x)=2sin.
令2kπ-≤2kπ+,k∈z.
则6kπ-≤x≤6kπ+,k∈z.
易知f(x)在区间[-2π,0]上是增函数,故应选a.
6.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f·sin x在[0,π]上的大致图象为( )
答案:a解析:依题意,f(x)在上是增函数,当x∈时,f(x)≥0.
当x∈时,-x∈,此时sin x≥0,f≥0,f·sin x≥0;
当x∈时,-x∈,此时sin x≥0,f≤0,f·sin x≤0.
因此,结合各选项知a正确.
故应选a.二、填空题。
7.(2015·大连模拟)已知f(x)=asin(ωx+φ)f(α)a,f(β)0,|α的最小值为,则正数。
答案:解析:由|α-的最小值为,知函数f(x)的周期t=,ω
8.已知函数f(x)=3sin (ω0)和g(x)=2cos(2x+φ)1的图象的对称轴完全相同,若x∈,则f(x)的取值范围是___
答案:解析:依题意得ω=2,所以f(x)=3sin.
因为x∈,所以2x-∈,所以sin∈,所以f(x)∈.
9.(2014·全国大纲)若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间上是减函数,则a的取值范围是___
答案:(-2]
解析:利用导数将f(x)在为减函数转化为导数f′(x)≤0在恒成立,f′(x)=-2sin 2x+acos x=-4sin xcos x+acos x.
x∈,∴cos x>0.
f′(x)≤0在恒成立,即-4sin x+a≤0在恒成立,∴a≤(4sin x)min.
又y=4sin x在的最小值接近2,故a≤2.
10.已知函数f(x)=cos xsin x(x∈r),给出下列四个命题:
若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;
f(x)的最小正周期是2π;
f(x)在区间上是增函数;
f(x)的图象关于直线x=对称.
其中真命题是___
答案:③④解析:f(x)=sin 2x,当x1=0,x2=时,f(x1)=-f(x2),但x1≠-x2,故①是假命题;f(x)的最小正周期为π,故②是假命题;当x∈时,2x∈,故③是真命题;因为f=sinπ=-故f(x)的图象关于直线x=π对称,故④是真命题.
三、解答题。
11.已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x.
1)求f的值;
2)若x∈,求f(x)的最大值及相应的x值.
解:(1)∵f(x)=sin xcos x+sin2x,f=sin cos+sin2=2+2=1.
2)f(x)=sin xcos x+sin2x=sin 2x+
(sin 2x-cos 2x)+=sin+,由x∈得2x-∈,所以,当2x-=,即x=π时,f(x)取到最大值为。
12.已知函数f(x)=coscos-sin xcos x+.
1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
2)求函数f(x)的单调递增区间.
解:(1)∵f(x)=coscos-sin 2x+
-sin 2x+
cos2x-sin2x-sin 2x+
--sin 2x+
(cos 2x-sin 2x)=cos,函数f(x)的最小正周期为t=π,函数f(x)的最大值为。
2)由2kπ-π2x+≤2kπ,k∈z,得kπ-≤x≤kπ-,k∈z,函数f(x)的单调递增区间为,k∈z.
13.(2014·四川)已知函数f(x)=sin.
1)求f(x)的单调递增区间;
2)若α是第二象限角,f=coscos 2α,求cos α-sin α的值.
解:(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为。
k∈z,由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈z,得-+≤x≤+,k∈z.
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈z.
2)由已知,有sin=cos (cos2α-sin2α),所以sin αcos+cos αsin
·(cos2α-sin2α),即sin α+cos α=cos α-sin α)2(sin α+cos α)
当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈z.此时,cos α-sin α=
当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=.
由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=
综上所述,cos α-sin α=或-.
课时作业 19 三角函数的图象与性质
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