课时作业(二十) 三角函数的图象与性质。
一、选择题。
1．函数y＝tan的定义域是( )
a. b.
c. d.
答案：d解析：y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ，k∈z得x≠kπ＋，k∈z，故应选d.
2．(2014·陕西)函数f(x)＝cos的最小正周期是( )
a. b．π
c．2π d．4π
答案：b解析：∵t＝＝πb正确，故应选b.
3．函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
a．2－ b．0
c．－1 d．－1－
答案：a解析：∵0≤x≤9，∴－x－≤.
－≤sin≤1，∴－y≤2，最大值与最小值之和为2－，故应选a.
4．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )
a. b．c. d．
答案：c解析：f(x)＝2－，sin x∈[－1,1]，∴f(x)≤1，f(x)的值域为，故应选c.
5．(2015·浏阳模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)x∈r，其中ω＞0，－π若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
a．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数。
b．f(x)在区间[－3π，－上是增函数。
c．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数。
d．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数。
答案：a解析：∵t＝6π，∴2kπ＋，2kπ＋(k∈z)．
－π＜令k＝0得φ＝.
f(x)＝2sin.
令2kπ－≤2kπ＋，k∈z.
则6kπ－≤x≤6kπ＋，k∈z.
易知f(x)在区间[－2π，0]上是增函数，故应选a.
6．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f·sin x在[0，π]上的大致图象为( )
答案：a解析：依题意，f(x)在上是增函数，当x∈时，f(x)≥0.
当x∈时，－x∈，此时sin x≥0，f≥0，f·sin x≥0；
当x∈时，－x∈，此时sin x≥0，f≤0，f·sin x≤0.
因此，结合各选项知a正确．
故应选a.二、填空题。
7．(2015·大连模拟)已知f(x)＝asin(ωx＋φ)f(α)a，f(β)0，|α的最小值为，则正数。
答案：解析：由|α－的最小值为，知函数f(x)的周期t＝，ω
8．已知函数f(x)＝3sin (ω0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是___
答案：解析：依题意得ω＝2，所以f(x)＝3sin.
因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈，所以f(x)∈.
9．(2014·全国大纲)若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间上是减函数，则a的取值范围是___
答案：(－2]
解析：利用导数将f(x)在为减函数转化为导数f′(x)≤0在恒成立，f′(x)＝－2sin 2x＋acos x＝－4sin xcos x＋acos x.
x∈，∴cos x>0.
f′(x)≤0在恒成立，即－4sin x＋a≤0在恒成立，∴a≤(4sin x)min.
又y＝4sin x在的最小值接近2，故a≤2.
10．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈r)，给出下列四个命题：
若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
f(x)的最小正周期是2π；
f(x)在区间上是增函数；
f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中真命题是___
答案：③④解析：f(x)＝sin 2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈时，2x∈，故③是真命题；因为f＝sinπ＝－故f(x)的图象关于直线x＝π对称，故④是真命题．
三、解答题。
11．已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x.
1)求f的值；
2)若x∈，求f(x)的最大值及相应的x值．
解：(1)∵f(x)＝sin xcos x＋sin2x，f＝sin cos＋sin2＝2＋2＝1.
2)f(x)＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x＋
(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋，由x∈得2x－∈，所以，当2x－＝，即x＝π时，f(x)取到最大值为。
12．已知函数f(x)＝coscos－sin xcos x＋.
1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)∵f(x)＝coscos－sin 2x＋
－sin 2x＋
cos2x－sin2x－sin 2x＋
－－sin 2x＋
(cos 2x－sin 2x)＝cos，函数f(x)的最小正周期为t＝π，函数f(x)的最大值为。
2)由2kπ－π2x＋≤2kπ，k∈z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈z，函数f(x)的单调递增区间为，k∈z.
13．(2014·四川)已知函数f(x)＝sin.
1)求f(x)的单调递增区间；
2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为。
k∈z，由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈z，得－＋≤x≤＋，k∈z.
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈z.
2)由已知，有sin＝cos (cos2α－sin2α)，所以sin αcos＋cos αsin
·(cos2α－sin2α)，即sin α＋cos α＝cos α－sin α)2(sin α＋cos α)
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈z.此时，cos α－sin α＝
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝
综上所述，cos α－sin α＝或－.
课时作业 19 三角函数的图象与性质
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