三角函数图像与性质

三角函数的图像与性质。

德育目标：1渗透"变换"思想、"化归"思想；

2培养逻辑推理能力；

3培养学生探求精神。

教学方法：引导式。

运用"整体化"教学思想，引导学生生从"整体"到"局部"再到"整体"逐步认识。

三角函数的图象和性质是平面三角的主体内容，它是代数中学过的函数的重要补充．本章复习的重点是进一步熟练和运用代数中已学过的研究函数的基本理论和方法，与三角变换配合由三角函数组成的较复杂函数的性质，在诸多性质中，三角函数的周期性和对应法则的“多对一”性，又是这里的特点所在，复习中不仅要注意知识、方法的综合性，还要注意它们在数学、生产、生活中的应用．

周期函数和最小正周期是函数性质研究的新课题，不仅要了解它们的意义，明确周期函数，函数值的变化规律，还要掌握周期性的研究对周期函数性质研究的意义，并会求函数的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期．三角函数指的是，，，等函数，了解它们的图象的特征，会正确使用“五点法”作出它们的图象，并依据图象读出它们的性质，是本章的基础．

对于性质的复习，不要平均使用力量，只要强调已学函数理论、方法的运用，强调数形结合的思想，而要把重点放在周期函数表达某些性质的规范要求上．

例如，对于，怎么表述它的递增（减）区间，怎么表述它取最大（小）值时的取值集合，怎么由已知的函数值的取值范围，写出角的取值范围来，等等．还可对性质作些延伸，例如，研究它们的无数条对称轴的表示，无数个对称中心的表示等等．

正弦型函数是这里研究的又一个重点，除了会用“五点法”画出它的简图外，还要从图象变换的角度认识它与的图象的关系，对于三种基本的图象变换（平移变换，伸缩变换，对称变换）进一步进行复习和适当提交．本章复习还要注意适当提交起点，注意把简单的三角变换与有关函数的性质结合起来，注意把三角函数和代数函数组合起来的综合性研究，注意在函数图象和单位圆函数线这两工具中的综合，择优使用．

注意从数学或实际问题中概括出来的与正弦曲线有关的问题的研究，并注意立体几何、复数、解析几何等内容，对平面三角要求的必要准备的复习．本章中数学思想最重要的是数形结合，另外换元的思想，等价变换和化归的思想，以及综合法、分析法、待定系数法等等，在复习中应有所体现。

知识目标：1、会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y＝asin(ωx＋)的简图，理解a、ω、的物理意义；

2、会用已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示用其解决相关问题。

本章知识与方法总结：

知识纲要：(1)角的概念推广：①正角、负角、零角②终边相同的角。

(2)弧度制：①一弧度角的定义②角度制与弧度制的换算。

(3)任意角三角函数的定义。

①三角函数定义②定义域③三角函数线④三角函数值在各个象限的符号。

(4)同角三角函数间的基本关系式、平方关系、商数关系、倒数关系。

(5)诱导公式，主要包括π±α2π±α与α角三角函数间的关系。

(6)两角和与角的正弦，余弦、正切公式。

(7)二倍角的正弦、余弦、正切公式。

(8)三角函数的图象和性质①定义域②值域(包括最值)③奇偶性④周期性⑤单调性⑥函数的图象及作法。

方法总结：正确理解三角函数概念、图象和性质、课本要求的三角公式及其内在联系，是学习本章内容的基础。

1已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值的方法；

2利用诱导公式求任意角三角函数值的方法；

3已知一个角的一个三角函数值，求符合条件的角的方法；

4利用三。5证明角相等的方法和证明三角恒等式的方法；

6作三角函数图象的方法；

7三角函数图象变换的方法；

8研究三角函数性质的方法。

要点梳理。“五点法”作图原理：在确定正弦函数y=sin x在［0，2 ］上的图象形状时，起关键作用的五。

个点是余弦函数呢？

1、定义域：

函数及的定义域都是，即实数集。

2、值域：函数，及，的值域都是。

理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以，即，。

2）函数在时，取最大值1，当，时，取最小值-1；函数在，时，取最大值1，当，时，取最小值-1。

3、周期性。

正弦函数，和余弦函数，是周期函数，都是它们的周期，最小正周期是。

4、奇偶性。

正弦函数，是奇函数，余弦函数，是偶函数。

理解：（1）由诱导公式，可知以上结论成立；

2）反映在图象上，正弦曲线关于原点o对称，余弦曲线关于轴对称。

5、单调性。

1）由正弦曲线可以看出：当由增大到时，曲线逐渐上升，由-1增大到1；当由增大到时，曲线逐渐下降，由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：

正弦函数在每一个闭区间上，都从-1增大到1，是增函数；

在每一个闭区间上，都从1减小到-1，是减函数。

2）由余弦曲线可以知道：

余弦函数在每一个区间上，都从-1增大到1，是增函数；

在每一个闭区间上，都从1减小到-1，是减函数。

练习：不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：

1）与；（2）与。

例3、求下列函数的最大值及取得最大值时自变量的集合：

例4、求函数的单调增区间。

练习：（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域；

课堂检测(一)

一、选择题：

1．满足tanα≥cotα的角的一个取值区间是（）

a.(0, )b. [0, ]c. [d. [

2．函数的定义域是（）

a. b.

c. d.

3．下列函数中周期为的奇函数是（）

- |cotx|

4．若sinα>tanα>cotα(-ab. (0) c.(0, )d.(

二、填空题。

5．比较大小：tan222tan223°.

6．函数y=tan(2x+)的单调递增区间是。

7．函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是___

8．函数 y=f(x) 的图象右移，横坐标缩小到原来的一半，得到y=tan2x的图象，则y=f(x)解析式是。

9．函数y=lg的奇偶性是。

10．函数的y=|tan(2x-)|周期是。

三、解答题。

11．作函数y=cotxsinx的图象。

12．作出函数y=|tanx|的图象，并根据图象求其单调区间。

13．求函数y=的定义域。

14．求下列函数的值域：

1）y=2cos2x+2cosx－1；

2）y=.15．求函数y=3tan（－）的周期和单调区间。

课堂检测(二):

一、选择题：（5*12=60分）

1．函数的定义域是（

ab. c. d.

2．已知角α的终边过点p（4a,－3a）（a<0）,则2sinα＋cos α的值是（

a． b．－ c．0 d．与a的取值有关。

3．若θ是第三象限角，且，则是。

a．第一象限角 b．第二象限角 c．第三象限角 d．第四象限角。

4．已知a=，b=，c=，那么a、b、c关系是（）

a．b=a∩c b．b∪c=c c．ac d．a=b=c

5．α为第二象限角，p(x, )为其终边上一点，且cosα＝x，则x值为( )

a． b．± c．－ d．－

6．的结果是( )

a．1 b．0 c．－1 d．

7．设sin123°＝a，则tan123°＝(

a． b． c． d．

8．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为( )

a． b．sin0.5 c．2sin0.5 d．tan0.5

9．先将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，再将所得图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式是( )

a．y＝sin(－2x＋)

b．y＝sin(－2x―)

c．y＝sin(－2x＋)

d．y＝sin(－2x―)

10．函数y＝asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象为上图所示．则函数的解析式是( )

a．y＝2sinb．y＝2sin(＋)

c．y＝2sind．y＝2sin(－)

11．下列函数中，周期为π，且在(0, )上单调递增的是( )

a．y＝tan|x| b．y＝|cotx| c．y＝|sinx| d．y＝|cosx|

12．若α满足＝2，则sinα·cosα的值等于( )

a． b．－ c．± d．以上都不对。

二、填空题：（16分）

13．已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos3θ＝＿

14．函数y＝＋＋的值域为＿＿＿

15．设θ∈（0，2π），点p（sinθ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是。

16．函数y＝sin(－2x)的单调递增区间是。

三、解答题：（74分）

17．已知扇形的周长为l，问当扇形的圆心角α和半径r各取何值时，扇形面积最大？（12分）

18．已知函数y＝3sin3x．

1)作出函数在x∈[,上的图象．

2)求(1)中函数的图象与直线y＝3所围成的封闭图形的面积。

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