4.4 函数y＝asin(ωx＋φ)的图象与性质。
1．了解函数y＝asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝asin(ωx＋φ)的图象；了解参数a，ω，对函数图象变化的影响。
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。
1．y＝asin(ωx＋φ)的有关概念。
2．用五点法画y＝asin(ωx＋φ)一个周期内的简图。
用五点法画y＝asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．
3．函数y＝sin x的图象变换得到y＝asin(ωx＋φ)a＞0，ω＞0)的图象的步骤。
1．把y＝sinx的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin ωx的图象，则ω的值为( )
a．1 b．4 c． d．2
2．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)其中ω＞0，|φ的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )
ab．ω＝c．ω＝2，φ＝d．ω＝2，φ＝
3．(2012安徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( )
a．向左平移1个单位b．向右平移1个单位。
c．向左平移个单位d．向右平移个单位。
4．已知函数f(x)＝2sin的图象如图所示，则f
5．(2012湖南高考)已知函数f(x)＝asin(ωx＋φ)x∈r，ω＞0，0＜φ＜的部分图象如图所示．
1)求函数f(x)的解析式；
2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．
一、三角函数y＝asin(ωx＋φ)的图象。
例1】设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.
1)求它的振幅、初相；
2)用五点法作出它在一个周期上的图象；
3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
方法提炼。1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y＝asin(ωx＋φ)a＞0，ω＞0)或y＝acos(ωx＋φ)a＞0，ω＞0)的形式；②求出周期t＝；③求出振幅a；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．
2．图象变换法。
1)平移变换。
沿x轴平移，按“左加右减”法则；
沿y轴平移，按“上加下减”法则．
2)伸缩变换。
沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的倍(纵坐标y不变)；
沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)为原来的a倍(横坐标x不变)．
请做演练巩固提升2，3
二、求函数y＝asin(ωx＋φ)b的解析式。
例2－1】已知函数f(x)＝asin(ωx＋φ)b(ω＞0，|φ的图象的一部分如图所示：
1)求f(x)的表达式；
2)试写出f(x)的对称轴方程．
例2－2】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)cos(ωx＋φ)0＜φ＜0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为。
1)求f的值；
2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
方法提炼。确定y＝asin(ωx＋φ)b(a＞0，ω＞0)的解析式的步骤：
1．求a，b，确定函数的最大值m和最小值m，则a＝，b＝.
2．求ω，确定函数的周期t，则ω＝.
3．求φ，常用方法有：
1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时a，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝第五点”为ωx＋φ＝2π.
请做演练巩固提升4
三、三角函数模型的应用。
例3】已知某海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝acos ωt＋b.
1)根据以上数据，求函数y＝acos ωt＋b的最小正周期t，振幅a及函数表达式；
2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
方法提炼。三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
请做演练巩固提升5
不理解相位变换而致误。
典例】(2012天津高考)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )
a． b．1 c． d．2
1．设函数f(x)＝asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝π对称，它的周期是π，则下列结论一定正确的是( )
a．f(x)的最大值为ab．f(x)的一个对称中心是点。
c．f(x)的图象过点d．f(x)在上是减函数。
2．(2013届安徽皖南八校联考)已知函数f(x)＝asin(ωx＋φ)x∈r，其部分图象如图所示．将f(x)的图象向右平移2个单位得g(x)的图象，函数g(x)的解析式为( )
a．g(x)＝sin (x＋1)
b．g(x)＝sin (x－1)
c．g(x)＝sin
d．g(x)＝sin
3．(2012浙江高考)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
4．(2012安徽高考)设函数f(x)＝cos＋sin2x.
1)求f(x)的最小正周期；
2)设函数g(x)对任意x∈r，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间[－π0]上的解析式．
5．如图，某市拟在长为8 km的道路op的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段osm，该曲线段为函数y＝asin ωx(a＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为s(3，2)；赛道的后一部分为折线段mnp.为保证参赛运动员的安全，限定∠mnp＝120°.
1)求a，ω的值和m，p两点间的距离；
2)应如何设计，才能使折线段赛道mnp最长？
参***。基础梳理自测知识梳理。
1． 23a a
基础自测。1．c 解析：y＝sin xy＝sin＝sinx，∴ω
2．d 解析：由题意得ω＝＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)又f(0)＝，即2sin φ＝sin故选d.
3．c 解析：∵y＝cos(2x＋1)＝cos，只须将y＝cos 2x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos(2x＋1)的图象．
4．0 解析：由图象知t＝π，所以t＝.所以ω＝3.所以f(x)＝2sin.故f＝2sin＝0.
5．解：(1)由题设图象知，周期t＝2＝π，所以ω＝＝2，因为点在函数图象上，所以asin＝0，即sin＝0.又因为0＜φ＜所以＜＋φ从而＋φ＝
即φ＝.又点(0,1)在函数图象上，所以asin＝1，得a＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
2)g(x)＝2sin－2sin＝2sin 2x－2sin
＝2sin 2x－2＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈z，所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈z.
考点**突破。
续 正切函数的图象与性质 余切函数的图象性质
第三十五教时。教材 续 正切函数的图象与性质 余切函数的图象性质 教学与测试 60课 目的 巩固正切函数的图象与性质，使学生能逐步养成熟练技巧，同时介绍余切函数的图象与性质。过程 一 复习正切函数的图象与性质 略 二 处理 教学与测试 p125第60课。例一 用图象解不等式。解 利用图象知，所求解为...
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