基础知识：函数的周期性。
如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数t，使得。
f(x＋t)＝f(x)
恒成立，则称函数f(x)是周期函数，t是它的一个周期。
一般情况下，如果t是函数f(x)的周期，则kt(k∈n＋)也是f(x)的周期。
关于函数的周期性，请参考陕西师范大学《高中数学竞赛辅导》(刘诗雄主编)
例题：1． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证：2m是f(x)的一个周期。
证明：因为f(x＋m)＝－f(x)
所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
f(x＋m)
f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数。
2． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证：2m是f(x)的一个周期。
证明：因为f(x＋m)＝f(x－m)
令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m
于是f(t＋2m)＝f(t)对于t∈r恒成立，所以f(x)是以2m为周期的周期函数。
3． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝,求证：2m是f(x)的一个周期。
证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数。
4． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－求证：4m是f(x)的一个周期。
证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
于是f(x＋4m)＝－f(x)
所以f(x)是以4m为周期的周期函数。
5． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x),求证：2|a－b|是f(x)的一个周期。(a≠b)
证明：不妨设a＞b
于是f(x＋2(a－b))＝f(a＋(x＋a－2b))
f(a－(x＋a－2b))
f(2b－x)
f(b－(x－b))
f(b＋(x－b))
f(x) 2(a－b)是f(x)的一个周期。
当a＜b时同理可得。
所以，2|a－b|是f(x)的周期。
6． 已知函数f(x)的定义域为n，且对任意正整数x，都有。
f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)
若f(0)＝2004，求f(2004)
解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)
所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)
两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)
即：f(x＋3)＝－f(x)
f(x＋6)＝f(x)
f(x)是以6为周期的周期函数。
f(2004)＝f(0)＝2004
7． 已知对于任意a，b∈r，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0
求证：f(x)是偶函数；
若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋t)＝f(x)的一个t值(t≠0)
证明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)
又令a＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x)
所以，f(x)为偶函数。
令a＝x＋m，b＝m
得f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m)＝0
所以f(x＋2m)＝－f(x)
于是f(x＋4m)＝f[(x＋2m)＋2m]
f(x＋2m)
f(x)即t＝4m(周期函数)
8． 数列中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈n＋)
求a100；
求s100.
解：由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，……
由此可知，是以6为周期的周期数列，于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a
又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0
s100＝a1＋a2＋a3＋……a96＋a97＋a98＋a99＋a100
＝0＋a97＋a98＋a99＋a100
＝a1＋a2＋a3＋a4
＝a＋b＋(b－a)＋(a)
＝2b－a9． 对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1,若f(－2)=－2,试求满足f(a)＝a的所有整数a.
解：令x＝y＝0，得f(0)＝－1
再令x＝y＝－1，得f(－2)＝2f(－1)＋2，又f(－2)＝－2
所以f(－1)＝－2
又令x＝1，y＝－1，可得f⑴＝1
令x＝y＝1得f⑵＝2f⑴＋1＋1＝4
令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)＋x＋2
即f(x＋1)－f(x)＝x＋2
当x取任意正整数时，f(x＋1)－f(x)＞0
又f⑴＝1＞0
所以f(x)＞0
于是f(x＋1)＝f(x)＋x＋2＞x＋1
即对任意大于1的正整数t，f(t)＞t
在①中，令x＝－3，得f(－3)＝－1，进一步可得f(－4)＝1
注意到f(x)－f(x＋1)＝－x＋2)
所以当x≤－4时，f(x)－f(x＋1)＞0
即f(x)＞f(x＋1)＞f(x＋2)＞…f(－4)＝1
所以x≤－4时，f(x)＞x
综上所述，满足f(a)＝a的整数只有a＝1或a＝－2
10． 设f(x)是一个从实数集r到r的一个映射，对于任意的实数x,都有|f(x)|≤1,并且f(x)+,求证：f(x)是周期函数。
证明：由已知f(x)+ 所以。即。
同理有。即。
由①②于是f(x＋1)－f(x)＝f(x＋2)－f(x＋1)，记这个差为d
同理f(x＋3)－f(x＋2)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝d
f(x＋n＋1)－f(x＋n)＝f(x＋n)－f(x＋n－1)
＝f(x＋1)－f(x)＝d
即是说数列是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列。
因此f(x＋n)＝f(x)＋nd＝f(x)＋n[f(x＋1)－f(x)]对所有的自然数n成立，而对于x∈r，|f(x)|≤1，即f(x)有界，故只有f(x＋1)－f(x)＝0
即f(x＋1)＝f(x) x∈r
所以f(x)是周期为1的周期函数。
习题：1. 函数f(x)是定义在r上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x∈r，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值。
2. 设f(x)是定义在实数集上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x∈[2，3]时，f(x)＝x，那么，当x∈[－2，0]时，求f(x)的解析式。
3. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－求证：2m是f(x)的一个周期。
4. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝(其中：a,b,c∈r,且a2＋bc≠0),求证：2m是f(x)的一个周期。
5. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函数，求证：2m是f(x)的一个周期。
6. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是奇函数，求证：4m是f(x)的一个周期。
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