九年级区域数学竞赛试卷。
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．已知二次函数的图象如右图所示，下列结论。
的实数)，
其中正确的结论有（ b ）
a ．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
解：正确的有③④
2．在平面直角坐标系中，正方形abcd的位置如图所示，点a的坐标为（1，0），点d的坐标为（0，2）．延长cb交x轴于点a1，作第二个正方形a1b1c1c；延长c1b1交x轴于点a2，作第三个正方形a2b2c2c1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ d ）
ab． cd． 解：，
同理，…3．是关于的二次函数，当的取值范围是时，在＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ b ）
a．a=5 b．a≥5 c．a＝3 d．a≥3
解：抛物线开口向上，当=1时，当=3时，
所以， 4．如图所示，矩形abcd中，ab=4，bc=，点e是折线段a－d－c上的一个动点（点e与点a不重合），点p是点a关于be的对称点．在点e运动的过程中，使△pcb为等腰三角形的点e的位置共有（ c ）
a．2个 b．3个 c．4个 d．5个。
解：因为，p与a关于be对称，所以，bp=ba=4，要使三角形pcb是等腰三角形，只能是pb=pc=4或cp=cb=，以c、b分别为圆心，以4长为半径画圆弧有二个交点，即有二个p点；
以c为圆心，以长为半径的圆弧与以b为圆心，以4长为半径的圆弧也有二个交点，即有二个p点，此时的四个e点均在折线a—d—c上。
5．甲、乙两在玩一种纸牌，纸牌共有40张，每张纸牌上有1至10中的一个数，每个数有四种不同的花色。开始时，每人有20张牌，每人将各自牌中相差为5的两张牌拿掉，最后乙还有两张牌，牌上的数分别为4和，甲也还有两张牌，牌上的数分别为7和．则的值为（ d ）
a．3 b．4 c．6 d．7
解：6．记=，令，称为，，…这列数的“理想数”．已知，，…的“理想数”为2004，那么8，，，的“理想数”为 （ c
a．200４ b．2006 c．2008 d．2010
二、填空题（每小题5分，共40分）
7．一个密码箱的密码， 每个数位上的数都是从0到9的自然数， 若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于， 则密码的位数至少需要 4 __位。
解：密码的位数若是3位，则一次拔对密码的概率为；若是4位，则一次拔对密码的概率为，所以，应至少需要4位。
8．在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的。
圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有 12 个．
9．如图，将矩形纸片()的一角沿着过点的直线折。
叠，使点落在边上，落点为，折痕交边交于点．
若，则用含有、
的代数式表示)
解：设be=m，ce=n，ab=cd=a，中，
af=10．已知p是半径为15的⊙o内一点，过点p的所有弦中，长为整数的弦有24条．
则op= 12
解：过圆内一点作弦，最短的只有一条，最长的是直径也只有一条，所以，长为19——29的弦可作11×2=22条，所以，最短的弦长为18，由此可得op=12
11．如图，直线与y轴交于点a，与双曲线在第一象限交于b、c两点，且ab·ac=6，则k
解：设。由已知可得：
又。同理：
所以，ab·ac=
所以， 12．如果在一个正方体的每个面上写一个正整数，然后，在每个顶点处再写一个数，该数等于过这个顶点的三个面上的整数的乘积，那么，当该立方体各个顶点的数字之和为290时，该立方体各个面上的数字之和为 36
13．如图，在△abc中，ab=13，ac=12，bc=5，在ac上取一点p．若过p可以作四条直线，使每条直线截得的三角形都与△abc相似，则cp的最大值为 25/12
14．已知抛物线过两点a（－1，2）、b（－2，3），且不经过第一象限．若。
则的取值范围是
因为，图像不经过第一象限，所以，
三、解答题（共50分）
15．（本题满分16分）
1）若，其中，试求的最小值。
解： 2分。
设，则4分。
又有可得6分。
所以， 则的最小值为48分。
2）已知是实数，且， ,求的值。
解：∵a=2b+ ∴a-2b=
(a-2b)2=()2 ∴a2-4ab+4b2=22分。
又∵ab+c2+=0 ∴8ab+4c2+2=0② -4分。
由①+②得，a+2b)2+4c2=05分。
即6分。8分。
16．（本题满分10分）
已知中，，ac=bc，d是ab的中点，e、f分别在ac、bc上，且．若，求ae的长。
解：如图，在中，易知。
ac=bc=4，在和中，2分。
又，所以4分。
设ae=x，又，则。
在中6分。所以， -7分。8分。或3
故ae的长为或310分。
17．（本题满分12分）
如图，圆内接六边形abcdef满足ab＝cd＝ef，且对角线ad、be、cf交于一点q，设ad与ce的交点为p。
1)求证：;（2）求证：.
解：（1）连ae，则，--1分。
因为，ab=cd，所以， -2分。
所以， 4分。
2）--5分。
---6分。
所以8分。由（1）知9分。
所以10分。
又由cf∥de11分。
所以12分。
18．（本题满分12分）
对于某一自变量为的函数，若当时，其函数值也为，则称点（，）为此函数的不动点．现有函数，(1)若有不动点(4，4)， 求．
(2)若函数的图像上有两个关于原点对称的不动点，求实数应满足的条件．
(3)已知时，函数仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数的图像与函数的图像有什么关系？
与函数的图像又有什么关系？
解：(1)由题意，得2分。
解得4分。2)令=x，得3x+a=x2+bx(x≠-b5分。
即 x2+(b—3)x-a=o．
设方程的两根为x1，x2，则两个不动点(x1，x2)，(x2，x2)，由于它们关于原点对称，所以x1+x2=0，∴，解得6分。
又因为x≠-b，即 x≠-3，所以以a≠9，因此a，b满足条件a>0且a≠9，b=38分。
(3)由(2)知b=3，此时函数为y=，即y=39分。
∴ 函数的图像可由的图像向上平移3个单位得到．--10分。
又函数的图像可由函数的图像向左平移3个单位得到，--11分。
所以函数的图像可由函数的图像向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到12分。
九年级数学竞赛综合训练题 2 含解答
满分 120分考试时间 120分钟 学校班级 姓名得分 一 选择题 5 6 30分 1 若实数a b c d满足，则的值为 毛。a 1或0 b 1或0 c 1或 2 d 1或 1 2 下列五个命题 若直角三角形的两条边长为3与4，则第三条边长是5 若点p a,b 在第三象限，则点p a,b 1 在第...
九年级数学竞赛综合训练题 1 含解答
满分120分，考试时间120分 学校班级姓名 一 选择题 每小题5分，共30分 1 过点p 1，3 作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作 条 a 4b 3c 2d 1 2 方程 y 0的整数解有 组毛。a 1b 2 c 3d 4 3 如图，若将图 a 的正方形剪成四块，恰能拼...
九年级数学解答题专题 一
九年级数学 解答题专题 一 2018.5.05 学校姓名。一 基础巩固。1 解方程 组 与不等式 2 如图，在平面直角坐标系中，o为原点，直线ab分别与x轴 y轴交于b和a，与反比例函数的图象交于c d，ce x轴于点e，tan abo ob 4，oe 2 1 求直线ab和反比例函数的解析式 2 求...