满分120分，考试时间120分）
学校班级姓名
一、选择题：（每小题5分，共30分）
1．过点p（-1，3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）条 （a）4b）3c）2d）1
2．方程－y=0的整数解有（ ）组毛。
a）1b）2 （c）3d）4
3．如图，若将图（a）的正方形剪成四块，恰能拼成图(b)的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）
a） （b）
c） （d）)2
4．关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（ ）
a）－6＜ab）－6≤a＜－
c）－6＜ad）－6≤a≤－
5．已知四边形abcd，从下列条件：
1）ab∥cd （2）bc∥ad （3）ab＝cd
4）bc＝ad （5）∠a＝∠c （6）∠b＝∠d
中任取其中两个，可以得出“四边形abcd是平行四边形”这一结论的情况有（ ）种。
a）4b）9 （c）13 （d）15
6．已知x、y、z都是实数，且x2+y2+z2=1，则m=xy+yz+zx（ ）
a)只有最大值b）只有最小值
c）既有最大值又有最小值 （d）既无最大值又无最小值。
二、填空题：（每小题5分，共30分）
7．已知x=，y=, 则x4+y4等于。
8．甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝（不足5枝不送）；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花元。
9．若1≤p≤20， 1≤q≤10，且方程4x2－px+q=0的两根均为奇数，则此方程的根为 .
10．在、…2003中有些正整数n，使得x2+x－n能分解为两个整系数一次式的乘积，则这样的n共有个。
11．已知如图所示，∠mon=40°，p为∠mon内一点，a为om上一点，b为on上一点，则当△pab的周长取最小值时，∠apb的度数为。
12．若关于x的方程rx2－(2r+7)x+r+7=0的根是正整数，则整数r的值可以是 .
三、解答题：（每小题15分，共60分）
13．已知a、b、c满足方程组，试求方程bx2+cx-a=0的根。
14．已知两个二次函数y1 和y2，当x=a（a＞0）时，y1取得最大值5，且y2=25. 又y2的最小值为-2，y1+y2=x2+16x+13. 求a的值及二次函数y1、y2的解析式。
15．如图所示，正方形abcd的边长为1，点m、n分别在bc、cd上，使得△cmn的周长为2.求：（1）∠man的大小；（2）△man面积的最小值。
16．如图所示，四边形abcd是矩形，甲、乙两人分别从a、b同时出发，沿矩形按逆时针方向前进，即按a→b→c→d→……顺序前进，已知甲的速度为每分钟65米，乙的速度为每分钟74米，问乙至少在跑第几圈时才有可能第一次追上甲？又乙至多在跑第几圈时一定能追上甲？请说明理由。
参***：1、c．设满足条件的直线l：y=kx+b ，因为p（－1，3）在直线上，所以，3=－k+b，故b=k+3，所以y=kx+k+3
它与两坐标轴的交点为a（－，0） b（0，k+3）
s△aob=oa·ob=·|k+3|=5
即（k+3）2=10| k |
当k＞0时，方程为k2－4k＋9=0，无实数解。
当k＜0时，方程为k2＋16k＋9=0，解得k1,2=－8±
2、d．由题意可知y==1+为整数。
x+1=±1或±2，x=0，－2，1，－3 故原方程有4组整数解。
3、a．由题意可知（a+b）2=b(a+2b)
当a=1时，（1+b）2= b(1+2b) 解得b=
所以正方形面积为（a+b）2=
4、c．由题意可知3－2a＜x＜20
因为不等式组只有5个整数解，所以14≤3－2a＜15
解得－6＜a≤－
5、b6、c．∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz
m= [x+y+z)2－(x2+y2+z2)]=x+y+z)2－1]≥－
即m有最小值。
而x2+y2≥2xy， y2+z2≥2yz， x2+z2≥2xz
三式相加 2（x2+y2+z2）≥2（xy+yz+xz）
m ≤x2+y2+z2=1 即m有最大值1
：∵x=2－， y=2+ ∴x+y=4 ，xy=1
x2+y2=(x+y)2－2xy=14
x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2=194
．95元：小王先到甲店花5元钱买了6支，剩余7枝到乙店购买，用去了5.95元，因此合计用了10.95元。
9、x1=x2=1：设方程的两根为x1， x2，则x1+x2=，x1x2=，因为x1， x2均为奇数，故x1+x2为偶数，x1x2为奇数。
1≤p≤20， 1≤q≤10
1，∴q=4
由△=p2－4q≥0 解得p≥8， ∴2≤≤5 ∴=2或4
当p=8时，x1=x2=1 符合题意。
当p=16时，x1，x2均为无理根，不合题意。
个：由题意可知n可分解成a(a+1)型，而a(a+1)必为偶数，因此n=1×2，2×3，3×4，4×5……44×45共44个。
°：如图作出p点关于om，on的对称点p1，p2连结p1p2交om，on于a、b两点，此时△pab的周长最小，由题意可知∠p1pp2=180°-∠mon=140°
p1pa+∠p2pb=∠p1+∠p2=180°－∠p1pp2=40°
∠apb=140°－40°=100°
或1或7：当r=0时，方程为－7x+7=0显然符合题意。
当r≠0时，x1+x2==2+
x1x2==1+
x1x2－(x1+x2)=－1
(x1－1)(x2－1)=0
x1=1或x2=1
可知方程必有一根为1，则另一根为1+，是正整数。
r是7的正约数，即r=1或7
r=0，1，7
13、解：由题意可知，a+b=8, ab=c2－c+48
因此a, b是方程y2－8y+c2－c+48=0的两根5ˊ
y－4）2+(c-)2=0
y=4且c=，即a=b=4, c10ˊ
bx2+cx－a=0 可化为4x2+x－4=0， 即x2+x－1=0
解得x1= ,x215ˊ
14、解：设y1=m(x－α)2+5 （m＜0
y2=x2+16x+13－m（x－α）2－5
x2+16x－m（x－α）2+83′
∵当x=α时，y2=25
∴25=α2+16α+8 解得α=1或α=－17(舍去7′
∴y1=m(x－1)2+5
y2=(1－m)x2+(16+2m)x+8－m
又∵y2有最小值为－2
1－m＞0且=－2
解得m=－213′
y1=－2(x－1)2+5=－2x2+4x+3
y2=3x2+12x+1015′
15、解：（1）如图，延长cb至l，使bl=dn，则rt△abl≌rt△and，故al=an，1=∠2，∠nal=∠dab=90°
又mn=2－cn－om=dn+bm
=bl+bm=ml
△amn≌△aml ∴∠man=∠mal=45° 6′
2）设cm=x，cn=y mn=z
则8′于是(2－y－z)2+y2=z2
整理得 2y2+(2z－4)y+(4－4z)=0
∴△=4(z－2)2－32(1－z)≥010′
即(z+2+ )z+2－)≥0
又∵z＞0z≥－2 当且仅当x=y=2－时等号成立13′
此时 s△amn=s△aml=ml·ab=z
因此，当z=－2，x=y=2－时，s△amn取到最小值为－1 15′
16、解：设ad=bc=a m,ab=cd=b m
由题意得，乙的速度比甲快，所以乙第一次追上甲的时间是在出发后的分钟。
乙第一次追上甲所走的路程为×74（米）
设这时乙所走的圈数为p，则p==4+=9－
从而得4＜p＜q 当38a+b＜9（a+b）
即当a＜b时＜1
所以乙至少在跑第五圈时，才能第一次追上甲。
又当7a+44b＜9（a+b） 即a＞b时，＜1
所以乙至多在跑第九圈时一定能追上甲。毛。
九年级数学竞赛综合训练题 2 含解答
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