满分：120分考试时间：120分钟）
学校班级___姓名得分
一、选择题(5×6=30分)
1．若实数a、b、c、d满足，则的值为（ ）毛。
（a）1或0 （b）－1或0 （c）1或－2 （d）1或－1
2．下列五个命题：
若直角三角形的两条边长为3与4，则第三条边长是5;
若点p（a,b）在第三象限，则点p′（－a,－b+1）在第一象限；
连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形；
两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。
其中正确命题的个数是（ ）
（a）2个 （b）3个c）4个d）5个。
3．在平面直角坐标系内，已知点a（2，2），b（2，－3），点p在y轴上，且△apb为直角三角形，则点p的个数为（ ）
（a）1b）2c）3d）4
4．实数x、y满足方程x2+2y2－2xy+x－3y+1=0，则y 的最大值是（ ）
（abcd）不存在。
5．如图所示，在△abc中，m是边ab的中点，n是边。
ac上的点，且，cm与bn相交于点k，若△bck
的面积等于1，则△abc的面积等于（ ）
（a）3 （b） （c）4 （d）
6．如图所示，△abc为正三角形，p是bc上的一点，pm⊥ab，pn⊥ac，设四边形ampn，△abc的周长分别为m、n,则有（ ）
（ab） （cd）
二、填空题：（5×6=30分）
8．若不等式（2a－b）x+3a－4b＜0的解集是x＞，则不等式(a－4b)x+2a－3b＞0的解集是。
9．已知a、b、c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被x2+3x－4整除，则2a－2b－c= .
10．若正实数a、b满足ab=a+b+3 则a2+b2的最小值是。
11．已知二次函数y=ax2+bx+c，一次函数y=k(x－1)－，若它们的图像对于任意的实数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为。
12.设a、b为实数，方程x2+ax+b=0的两根为x1,x2,且x13+x23=x12+x22=x1+x2，则有序的二元数组（a,b）共有个。
三、解答题：（4×15=60分）
13．二次函数y=x2+px+q 的图像经过点（2，-1）且与x轴交于不同的两点a（a,0）、b（b,0），设图象顶点为m，求使△amb的面积最小时的二次函数的解析式。
14．已知关于x的方程kx2+(2k－1)x+k－1=0只有整数根，且关于y的一元二次方程。
k－1）y2－3y+m=0有两个实数根y1和y2.
1）当k为整数时，确定k的值；
2）在（1）的条件下，若m＞－2，用关于m的代数式表示y12+y22.
15.如图，在△abc中，ab=2，ac=，∠a=∠bcd=45°，求bc的长及△bdc的面积。
16．育红中学初三（1）班的一个研究性学习小组对学生中午在学校食堂的就餐时间进行了调查。发现在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到校外就餐的人数各是一个固定数。并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟。
还发现，若在25分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%.在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂20分钟内卖完午餐。问至少要同时开多少个窗口？
参***：1、d．
解：设可得k=±1
当k=1时，原式=1
当k=－1时，a=－b=c=－d 原式=－1
2、c．①错，②③正确。
3．d4．b
解：x2+(1－2y)x+2y2－3y+1=0
△=（1－2y）2－4(2y2－3y+1)≥0 ， 即4y2－8y+3≤0 解得≤y≤
5．c解：连结ak，知，于是s△akc=1
又因， 则s△abk=2
所以s△akc=s△abk+s△akc+s△bkc=2+1+1=4
6．d解：设bm=x cn=y
则bp=2x pc=2y pm=x pn=y
am+an=2bc－(bm+cn)=3(x+y)
故。二、填空题。
8. x＞－
解：原不等式可化为(2a－b)x＜4b－3a
由②得a= 代入①得b＜0 ∴a－4b=－4b＞0
(a－4b)x＞3b－2a∴x＞
解：由题意得－4，1是方程x3+ax2+bx+c=0的两根。
代入得。①－②6得2a－2b－c=14
解：设a+b=m, ab=m+3
以a、b为根构造方程得。
x2－mx+m+3=0
=m2－4(m+3)=m2－4m－12≥0
且 m＞0解得m≥6
a2+b2=(a+b)2－2ab=(m－1)2－7
当m=6时。
a2+b2可取得最小值为18
11. y=x2－2x+1
解：由题意得。
整理得ax2+(b－k)x+(c+k+)=0
又△=（b－k）2－4a(c+k+)=0
即：(1－a)k2－2(b+2a)k+b2－4ac=0
由于对于任意的实数k均成立。
故a=1,b=-2,c=1
12. 3个。
解：x1+x2=－a,x1x2=b
∵(x1+x2)[(x1+x2)2－3x1x2]=(x1+x2)2－2 x1x2=x1+x2
∴－a(a2－3b)=a2－2b=－a
若a=0,则b=0
若a≠0，则a2－3b=1,a2－2b+a=0
于是a+b=－1，（1+b）2－3b－1=0
所以b=0或b=1
故共有3组解（0，0）、（1，0）、（2，1）
三、简答题。
13．解：由题意知 4+2p+q=－1， 即2p+q=－5
又|a－b|= m()
则s△amb=|ab|·|
=|a－b|·（p2－4q）=
要使s△amb最小，只须使p2－4q为最小。
而p2－4q=p2+8p+20=(p+4)2+4
当 p=-4时， p2－4q有最小值为4
此时q=3,s△amb=×=1
二次函数为y=x2－4x+3
14.解：（1）当k=0时，方程①有整数根x=－1
当k≠0时，方程①可化为(x+1)(kx+k－1)=0
解得x1=－1, x2==－1+
k为整数，x2也为整数。
k=±1此时△=（2k－1）2－4k(k－1)=1＞0
但当k=1时，方程②不是一元二次方程。
k=0或k=－1
2)当k=0时，方程②可化为－y2－3y+m=0,△=9+4m≥0，即m≥
又∵m＞－2
当m＞－2时有y12+y22=(y1+y2)2－2y1y2=9+2m
当k=－1时，方程②可化为－2y2－3y+m=0,△=9+8m≥0，即m≥
当m≥时有y12+y22=(y1+y2)2－2y1y2=+m
15.解析：过c作ce⊥ab交ab于e，则ce=ae=，那么be=2－=
又bc2=ce2+be2，则bc=
再过d作df ⊥bc交cb的延长线于f，并设df=cf=x,则bf=x－bc=x－.
易知rt△dfb∽rt△ceb,则，即。
因此，s△bcd=bc·df=
16．设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为z人，并设至少要同时开n个窗口，依题意有。
由①、②得y=x,z=90x,代入③得20nx≥90x-4x, n≥4.3
因此，至少要同时开5个窗口。毛。
九年级数学竞赛综合训练题 1 含解答
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