九年级数学竞赛专题第六讲对称变换。
1．如图，△abc中，ae平分∠bac的外角，d为ae上一点，若ab=c，ac=b，db=m，dc=n，则m+n与b+c的大小关系是（ ）
a．m + n > b + c ; b．m + n = b + c
c．m + n < b + c ; d．m + n > b + c 或m + n < b + c
2．如图，△abc中，∠a=2∠b，∠c≠72°，c砰分∠acb，p为ab中点，则下列各式中正确的是（ ）
a．ad=bc-cd; b．ad=bc-ac; c．ad=bc-ap; d．ad=bc-bd
二、解答题。
1．在定直线xy异侧有两点a、b，在直线xy上求作一点p，使pa与pb之差最大。
2．如图，已知线段ab的同侧有两点c、d满足∠acb=∠adb=60°，∠abd=90°-∠dbc。求证：ac=ad.
3．如图，已知△abc中，ab=ac，∠a=100°，bd平分∠abc,求证：bc=bd+ad.
4．如图，已知p是△abc边bc上一点，且pc=2pb，若∠abc=45°，∠apc=60°，求证：∠acb的大小。
5．如图，已知△abc中，ab=ac，d是△abc外一点且∠abd=60°，∠adb=90°-∠bdc。求证：ac=bd+cd.
6．△abc中，已知∠bac=15°，ad平分∠bac，过a作da的垂线交直线bc于m，若bm=ac+ba。求证：∠abc、∠acb的度数。
7．已知：等边凸六边形abcdef中，顶角∠a、∠c、∠e与∠b、∠d、∠f的和相等，即∠a+∠c+∠e=∠b+∠d+∠f。求证：∠a=∠d，∠b=∠e，∠c=∠f。
8．已知，如图，设∠mon=20°，a为om上一点，oa=4，d为on上一点，od=8，c为a由任一点，b是od上任意一点。求：折线abcd的长度的最小值。答案。一、
1．a2．b
略解：1．在am上截取ac=ac，连结dc，如图，易证△adc≌△ad c
所以dc=d c
因为ba + a c< bd+d c
所以ab + ac < bd + dc
即m + n > b + c，故选a.
2．因为∠a=2∠b
所以∠a > b
所以bc > ac
在bc上截取ca=ca，连结d a（如图），易证△acd≌△acd
所以ad= ad，且∠1=∠a=2∠b
又∠1=∠b+∠2
所以∠b=∠2
所以ab= ad=ad
所以bc= ac+ ab = ac + ad
所以ad = bc – ac符合（b）
注意到：若ad=bc-cd，则cd=bc-ad= ac=ac
此时∠cd a=∠cda=∠a=2∠b
所以∠ad a=4∠b
又∠ad a+∠2=4∠b + b = 180°
所以∠b = 36°
所以∠c = 72°
与已知矛盾，故a排除，易证bd > b a= ad，所以pb < bd，pa > ad
所以ad < bc – ap，排除c，ad > bc – bd，排除d
二、1．作法：作点b关于直线xy的对称点b，作直线a b交xy于p点，则点p为所求点（如图）若ba∥xy（即b、a到直线xy的距离相等），则点p不存在。
证明：连结bp，在xy上任意取点p，连结pa、pb，则pb=pb，pb= pb
因为| pb - pa | pb-pa| 2．略证：以ab为轴作△abc的对称△abc，则ac=a c，∠c=∠c=60°，∠abc=∠abc如图。 因为∠abd=90°-∠dbc 所以2∠abd+∠dbc=180° 所以∠abd+∠dbc+∠abd=180° 即∠abc+∠abd=180° 所以∠abc+∠abd=180° 所以d、b、c共线。 又因为∠d=60° 所以∠dac=180°-∠c-∠d=60°=∠d=∠c 所以△ad c是等边三角形，所以ad=a c=ac 3．法1：在bc上截取be=ba，bf=bd，连结de、df（如图） 易证△abd≌△ebd 所以de=da，且∠deb=∠a=100° 所以∠1=80° 因为ab=ac，∠a=100° 所以∠abc=∠c=40° 又bd平分∠abc，所以∠4=∠3=20° 由bd=bf得：∠2=∠bdf=80° 所以∠1=∠2，所以de=df，又因为∠bdc=∠a+∠4=120° 所以∠5=40°=∠c，所以cf=df，所以cf=de=da 所以bc=bf+fc=db+ad 法2：在bc上截取be=ba，延长bd到f使bf=bc，连结de、cf（如图） 易证△abd≌△ebd 所以∠deb=∠a=100°，所以∠dec=80° 易求∠1=∠2=20°，∠3=40° 因为bc=bf，∠2=20°，所以∠f=∠fcb=80°=∠dec 所以∠4=80°-∠3= 40°=∠3 又dc=dc，所以△dce≌△dcf（aas） 所以df=de=ad 所以bc=bf=bd+df=bd+ad 法3：在bd上截取be=ba，在bc上截取bf=bd，连结ef、df（如图，相当于将△abd绕b点旋转20°） 易证△abd≌△ebf（sas） 所以ad=ef，∠bef=∠a=100° 所以∠def=80°，易求∠2=20°，∠c=40°，bdc=120° 因为bd=bf，所以∠bdf=80°=∠def，所以df=ef且∠3=40°=∠c 所以df=fc 所以bc=bf+fc=bd+df=bd+ef=bd+ad 4．作c关于ap的对称点c，连结a c、b c、p c， 则有p c=pc=2pb，∠apc=∠apc=60°可证△bcp为直角三角形（延长pb到d，使bd=bp，则pd=pc，又∠cpb=60°，则△cpd是等边三角形，由三线合一性质有cb⊥bp）∠cbp=90° 因为∠abc=45°，所以∠cba=45°=∠abc 所以ba平分∠cbc 所以a到bc的距离=a到bc的距离。 又因为∠apc=∠apc，所以pa平分∠cpc 所以a到p c距离=a到pc（即bc）的距离。 所以a到b c的距离=a到p c的距离。 所以a是角平分线上的点，即ca平分∠m cp 所以∠a cp=∠m cp=75°=∠acp 5．略证：以ad为轴作△abd的对称△abd（如图），则有bd=bd，ab=ab=ac，∠b=∠abd=60°，∠ad b=∠adb=90°-∠bdc，所以∠adb+∠adb+∠bdc=180°-∠bdc+∠bdc=180° 所以c、d、b在一条直线上。 所以△acb是等边三角形。 所以ca=c b=cd+d b=cd+bd 6．分两种情况讨论计算。 1）当过a作ad的垂线交bc延长于点m时，延长ba到c到c，使a c=ac，连结cm（如图），则bm=ab+ac=ab+a c=b c 所以∠c=∠cmb 由ad平分∠bac，am⊥ad，易证am平分∠ca c 所以△acm≌△a cm 所以∠a cm=∠acm=∠cmb 在△bcm中，∠b+∠c+∠cmb=180° 所以∠b+∠acm+∠acm=180° 所以∠b+2（∠bac+∠b）=180°，解得∠b=50° 所以∠acb=180°-∠b-∠bac=115° 2）当过a作ad的垂线交cb延长线于点m时，延长ba到c，使a c=ac，连结c c，cm（如图） 则bm=ab+ac=ab+a c=b c，所以∠m ca=∠mba 因为∠mad=90°，所以∠mac=90°+ 又∠cac=180°-∠bac=165° 所以∠cam=360°-∠cac-∠mac=97.5°=∠cam 又am=am，所以△a cm≌△acm（sas） 所以∠a cm=∠acb 在△m cc中，∠cmb+∠mcc+∠mcc=180° 所以∠mca+∠mca+∠ac c+∠m ca+∠acc=180° 所以3∠acm+∠cab=180° 所以∠acb=（180°-15°）=55° 所以∠abc=180°-∠acb-∠bac=110° 综上，∠abc=50°，∠acb=115°或∠abc=110°，∠acb=55° 7．略证：以bf为轴将△abf翻折，以bd为轴将△bcd翻折，以df为轴将△def翻折。 因为∠a+∠c+∠e=∠abc+∠cde+∠afe=360° 且ab=bc=cd=de=ef=fa，所以翻折后a、c、e落于同一个点o 所以ob=ab=af=of=ef=de=od=de=cb=ob 所以四边形abof、bcdo、defo均为菱形。 所以ob∥cd，de∥of 所以∠bod+∠odc=180°，∠fod+∠ode=180° 所以∠cde=360°-∠bod-∠fod=∠bof=∠baf 同理可证，∠abc=∠e，∠c=∠afe 8．解：作a关于on的对称点a，连结ab，作d关于om的对称点d，连结cd，连结o a、o d、ad（如图） 所以ab= ab，cd=c d 由折线abcd长=ab+bc+cd，而ab+bc+cd= ab+bc+cd≥ad 所以折线abcd长的最小值的线段ad的长。 因为∠no a=∠mon=20°，∠dom=∠mon=20° 所以∠doa=60° 又因为o a=oa=4，od=od=8 所以∠o ad=90° 所以ad=所以折线abcd长度的最小值为12。 九年级数学竞赛专题第七讲旋转变换。 一、填空题。 1、如图1，△abc中，m为bc中点，d、e分别在ab、ac上，dm⊥me，则bd+cede（用“>”填空） 九年级数学竞赛专题第九讲二次根式。一 选择题。1若x 3，化简 1 的结果是 a 3 x b 3 x c x d x 2 化简，得 a x 1 b 1 x c x 1 d x 1 3 则的值是 a 无意义 b c d 4 已知最简根式是同类二次根式，则满足条件的a,b的值 a 不存在 b 有一组 n... 学习必备欢迎 九年级下册英语全解 考前必背短语句型背诵卷。1.在 的前面in front of2.想起，认为think of3.玩的开心h e a good time 4.现在 此时at the moment5.在工作at work6.一年到头all the year round7.在将来in th... 九年级下册英语全解 考前必背短语句型背诵卷。1.在 的前面in front of2.想起，认为think of3.玩的开心h e a good time 4.现在 此时at the moment5.在工作at work6.一年到头all the year round7.在将来in the futur...九年级数学竞赛全解 3
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