题目：数与式。
一、知识梳理。
一、数与式。
1.奇偶性、整除性分析。
例1：方程的整数解(x，y)的个数是( )
a)0 (b)1 (c)3 (d)无穷多。
分析：原方程可化为，因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．选(a).
点评：本题的“题眼”有两个：一是对方程两边“局部分解因式”，构造三个连续整数的乘积；二是对方程两边作3的整除性分析。
例2：如果是三个任意整数，那么( )
a)都不是整数 (b)至少有两个整数
c)至少有一个整数 (d)都是整数。
分析：三个整数中至少有两个同奇偶，这两个数的和即为偶数，和的一半即为整数，所以选c.
2.把握结构，代数式的整体处理。
代数式的结构千变万化，我们便于解决（能够解决）的总是那些结构特殊的代数式，这就意味着：我们总是要整体把握问题中代数式的特殊结构。具体来讲，又可细分为：
1)整体用元(换元)，整体化简、求值。
例：已知实数满足，那么t的取值范围是 .
分析：题中两式相加，得；两式相减，得。
因为，所以且，解得。
点评：本题视为两个独立的整体，利用它们之间的关系构造不等式，获得t的范围。 关于变量的几种常见代数结构之间存在特定的不等关系：
即均值不等式；
还存在特定的等量关系：
同学们都应有所了解。
小练习：1、已知，， 8，则a的值等于。
a)－5b)5c)－9d)9
点评：本题整体代入与，回避了根式运算，这是根式问题的一个常用手段（根式问题的常用手段还有分母、分子有理化等）.
(2)整体实施相加、相乘、相除。
例：若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为 .
解法1：因为，所以，解得。
从而，.于是。
显然不及下面的方法简单、漂亮：
解法2：三式相加，得；
三式相乘，得。
两式相减，得，则。
小结：参***是用消元法解三元方程组，思路简单、过程复杂；我们的解法思路巧妙、过程简洁，这其实要归功于对三元结构的理解与把握，三个变量的常见代数结构有：
等。a) 0 (b)1 (c)2 (d)3
3. 判定代数式的符号与配方法。
例：若m＝3x2－8xy+9y2－4x+6y+13(x,y是实数)，则m的值一定是( )
a)正数 (b) 负数 (c)零 (d)整数。
分析；因为m＝3x2－8xy+9y2－4x+6y+13
显然不能同时成立，所以，，选a.
点评：配方是数学竞赛的一项基本功，需要借助一定的拆项、凑配技巧。
4.分解因式。
例：已知实数a、b、x、y满足，，则 .
分析：由，两式相乘，得，，∴
分解因式，得。
点评：本题用到了将对称式分解因式，分解起来规律性很强，即分解的结果也一定对称。再比如，前面例6中得到 ，也是对称式分解因式的结果。
5.数列求和问题与裂项相消法。
例：已知对于任意正整数n，都有，则。
解：当≥2时，有。
两式相减，得，所以
因此。练习题目：1、已知实数满足，那么t的取值范围是 .
2、若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为 .
3、设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值( )
a)大于0 (b)等于0 (c)不大于0 (d)小于0
内容：方程。
过程：1 、解方程的基本方法——消元法。
方程组的解的个数为( )
a)1 (b) 2c) 3 (d)4
分析：若≥0，则于是，显然不可能．
若，则。于是，解得，进而求得．
所以，原方程组的解为只有1个解．选(a)．
归纳：解决多元方程、多变量问题的基本方法是消元。本题为消元，果断地对的符号展开讨论，去掉中的绝对值符号。
2、二次方程根与系数的关系。
例：已知实数，且满足，.则的值为( )
a)23 (b) (c) (d)
分析：∵是关于x的方程的两个根，整理此方程，得，，∴故a、b均为负数。
因此。 (b).
归纳：设是二次方程的根，则利用根与系数的关系，可以解决诸如，，等问题，但要注意前提条件。另外，有的竞赛试题还要求我们自己构造二次方程，如本题构造根为的方程，若构造根为的方程则过程要多走弯路，读者不妨一试。
3、三元最值问题与构造判别式法。
例：已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
1)求a，b，c中的最大者的最小值；
2)求的最小值。
分析：(1)设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且b+c=2-a，.
于是b，c是一元二次方程的两实根，0，0，≥0. 所以a≥4
又当a=4，b=c=-1时，满足题意。
所以a，b，c中最大者的最小值为4.
2)因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负。
若a，b，c均大于0，则由(1)知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾。
若a、b、c为一正二负，设a>0，b<0，c<0，则，由(1)知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。
故的最小值为6.
归纳：本题的三个关键点值得我们借鉴：
由的对称性，假定a≥b，a≥c（当然也可假定），既能简化问题，又不失一般性；
视为常量，由构造二次方程，由获得的范围。是一个隐含在二次方程中的重要不等式，大有用处；
解高次不等式用到了分解因式，分解因式时可借助“试根法”.
4、方程的整数根问题。
例：已知a，b是实数，关于x，y的方程组有整数解，求a，b满足的关系式。
分析：将代入，消去a、b，得，.
若x+1=0，即，则上式左边为0，右边为不可能，所以x+1≠0.
于是。(*因为x、y都是整数，所以，即或0，进而y=8或0.
故或。当时，代入得，；
当时，代入得，.
综上所述，a、b满足关系式是，或者，a是任意实数。
说明：方程的整数根问题主要依赖于在特殊的代数式结构中作整数、整除性分析。
练习题目：1、设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则的值为( )
a) (b) (c)2 (d)3
2、已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a3、已知，，则 ．
4、设都是非负整数，则满足的的个数为（ ）
a)10b)8c)9 (d)4
5、如果x和y是非零实数，使得和，那么x+y等于( )
a)3 (bcd)
内容：解三角形。
一、知识梳理。
1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形。
2. 解直角三角形所根据的定理 (在rt△abc中，∠c=rt∠).
1 边与边的关系： 勾股定理－－－c2=a2+b2.
2 角与角的关系：两个锐角互余－－－a+∠b=rt∠
3 边与角的关系：（锐角三角函数定义）
sina=， cosa=, tana=, cota=.
4 互余的两个角的三角函数的关系：
sin(90－a)= cosa， cos(90－a)= sina，
tan(90－a)= cota, cot(90－a)= tana.
5 特殊角的三角函数值：
锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.
3. 解斜三角形所根据的定理 (在△abc中)
1 正弦定理： =2r. (r是△abc外接圆半径).
余弦定理： c2=a2+b2－2abcosc； b2=c2+a2－2ca cosb； a2=c2+b2－2cbcosa.
互补的两个角的三角函数的关系：
sin(180－a)= sina， cos(180－a)= cosa ，
tan(180－a)=－cota， cota(180－a)=－tana.
s△abc＝absinc=bcsina=casinb.
4. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等。
二、例题分析。
例1、 已知：如图，要测量山ab的高，在和b同一直线上的c，d处，分别测得对a的仰角的度数为n和m，cd=a. 试写出表示ab的算式。
解：设ab为x，bd为y.
在rt△abd和rt△abc中，xcotm=xcotn－a .
x=.答：山高ab＝
例2、 如图，要测量河对岸c，d两个目标之间的距离，在a，b两个测站，测得平面角∠cab＝30，∠cad＝45，∠dbc＝75，∠dba＝45，ab＝.
试求c，d的距离。
解：在△abc中，∠acb＝∠cab＝30，bc＝ab＝,
ac＝2cos30=3.
在△abd中，∠adb＝60
由正弦定理， ＝
ad＝×sin45=÷×
在△acd中，由余弦定理，得。
cd2＝32＋（）2－2×3×cos45=5
cd＝.例3、已知：二次方程mx2－(m－2)x+ (m－1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值。
求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比。
解：作rt△abc斜边上的高cd.
则sina=, sinb=.
sina和 sinb是方程的两根，根据韦达定理，得。
sina+ sinb=； 1)
sina sinb= .2)
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