第1讲二次根式的性质和运算。
考点·方法·破译。
1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；
2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；
3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.
经典·考题·赏板。
例１】 荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
ab. c. d.
解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子。 b中含分母，c、d含开方数，故选a.
变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
ab. cd.
①；②最简二次根式是（ ）
abcd．①,
例２】(黔东南)方程，当y＞0时，m的取值范围是（ ）
a．0＜m＜1 b．m≥2 c．m＜2 d．m≤2
解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论。由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选c.
变式题组】2．（宁波）若实数x、y满足，则xy的值是。
3．（荆门）若，则x－y的值为（ ）
a．－ 1 b．1 c．2 d．3
4．（鄂州）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
a．x＞3 b．x≥3 c．x＞4 d．x≥3且x≠4
5.（怀化），则a－b－c
例３】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
a． b． c． d．
解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样。 a．； b． 不能化简；c.；d．，而。故本题应选d.
变式题组】6．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a
7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
a．和 b．和 c．和 d．和。
8．已知最简二次根式和是同类二次根式，则a＝__b＝__
例４】下列计算正确的是（ ）
a． b．
cd． 解法指导】正确运用二次根式的性质①；②进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算。a、b中的项不能合并。d..故本题应选c.
变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（ ）
a． b．
cd． 10．计算。
12．(济宁)已知a为实数，那么＝（
a．a b．－a c．－1d．0
13．已知a＞b＞0，a＋b＝6，则的值为（ ）
ab．2 c． d．
例５】已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）
ab． c． d．
解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0知x＜0. 故原式。选d.
变式题组】14．已知a、b、c为△abc三边的长，则化简的结果是___
15．观察下列分母有理化的计算：，，算果中找出规律，并利用这一规律计算：
16．已知，则0＜x＜1，则。
例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中，.
已知，，那么代数式值为___
解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy、x＋y的值，再代入求值。
解】⑴原式＝，当，时，ab＝1，a＋b＝,原式＝.
由题意得：xy＝1，x＋y＝10, 原式＝.
变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中，.
18．（黄石）已知a是的小数部分，那么代数式的值为___
例７】已知实数x、y满足，则3x2－2y2＋3x－3y－2007的值为（ ）
a．－2008 b．2008 c．－1 d．1
解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a、b的关系，再代入求值。
解：∵，由以上两式可得x＝y., 解得x2＝2008，所以3x2－2y2＋3x－3y－2007＝3x2－2x2＋3x－3x－2007＝x2－2007＝1，故选d.
变式题组】19．若a＞0，b＞0，且，求的值。
演练巩固·反馈提高。
01．若，则估计m的值所在的范围是（ ）
a．1＜m＜2 b．2＜m＜3 c．3＜m＜4 d．4＜m＜5
02．（绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
a．12 b．11 c．8 d．3
03．（黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
ab. c. d.
04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
ab. c. d.
05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
ab. c. d.
06．（常德）设a＝20， b＝(－3)2, ,则a、b、c、d、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）
a．c＜a＜d＜b b．b＜d＜a＜c c．a＜c＜d＜b d．b＜c＜a＜d
07．（**）下列运算正确的是（ ）
ab． cd．
08．如果把式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）
ab． c． d．
09．（徐州）如果式子化简的结果为2x－3，则x的取值范围是（ ）
a．x≤1 b．x≥2 c．1≤x≤2 d．x＞0
10．（怀化）函数中自变量的取值范围是___
11．（湘西）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算a※b＝.那么12※4
12．（荆州）先化简，再求值：，其中。
13．（广州）先化简，再求值：，其中。
培优升级·奥赛检测。
01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x－2和5x＋6，则这个数是___
02．已知a、b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有___对。
03．（全国竞赛）设，则___
04．（全国竞赛）设，a是x的小数部分，b是x的小数部，则a3＋b3＋3ab
05．（重庆竞赛）已知，则x2＋y2
06．（全国竞赛）已知，，，那么a、b、c的大小关系是（ ）
a．a＜b＜c b．b＜a＜c c．c＜b＜a d．c＜a＜b
07．（武汉联赛）已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）
a． b．3 c． d．
08．（全国竞赛）已知非零实数a、b满足，则a＋b等于（ ）
a．－1 b．0 c．1 d．2
09．（全国竞赛）等于（ ）
a． b． c．5 d．1
10．已知，则的值为（ ）
a． b． cd．
11．已知，求a＋b＋c的值。
12．已知与的小数部分分别是a和b，求ab－3a＋4b＋8的值。
第2讲二次根式的化简与求值。
考点·方法·破译。
1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值。
2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值。
3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式。
经典·考题·赏板。
例１】（河北竞赛）已知，那么的值等于。
解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用表示或化简变形。
解：两边平方得，， 两边同乘以x得， ，原式==
变式题组】1．若（0＜a＜1），则___
2．设，则的值为（ ）
a． b． c． d．不能确定。
例２】（全国初中数学联赛）满足等式。
2003的正整数对（x,y）的个数是（ ）
a．1b．2c．3d．4
解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解。
解：可化为，∴
∵，∴则xy＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x,y）的个数有2对，应选b.
变式题组】3．若a＞0，b＞0，且，求的值。
例３】（四川）已知：，求代数式。
的值。解法指导】视x－2，x2-4x为整体，把平方，移项用含a的代数式表示x－2，x2-4x，注意0＜a＜1的制约。
解：平方得，，∴化简原式＝
变式题组】4．（武汉）已知，求代数式的值。
5．（五羊杯竞赛）已知，，且，则a的值等于（ ）
a．－5b．5c．－9d．9
例４】（全国竞赛）如图，点a、c都在函数的图像上，点b、d都在x轴上，且使得△oab、△bcd都是等边三角形，则点d的坐标为___
解法指导】解：如图，分别过点a、c作x轴的垂线，垂足分别为e、f.设。
oe=a，bf=b，则ae=a，cf=b，所以，点a、c的坐标为（a, a）、
2a＋b, b），所以，解得，因此，点d的坐标为（,0）
变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题。
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一二） （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简：
（四）1）请你用不同的方法化简；
参照（三）试得要有简化过程）
参照（四）试得要有简化过程）
2）化简：
例５】（五羊杯竞赛）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积。
解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么？)，的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决。
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