九年级数学尖子生寒假培优教程 3

---建模思想在解题中的应用。

模型一】一线三等角。

问题1：如图，△abc和△def是两个全等的等腰直角三角形，∠bac=∠edf=90°，△def的顶点e与△abc的斜边bc的中点重合．将△def绕点e旋转，旋转过程中，线段de与线段ab相交于点p，线段ef与射线ca相交于点q．

（1）如图1，当点q**段ac上，当ap=4，bp=8时，求p、q两点间的距离；

（2）如图2，当点q**段ca的延长线上，若bp=2a，cq=9a，求pe：eq的值，并直接写出△epq的面积 (用含a的代数式表示)．

图1图2变式】：如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴正半轴于点a（4，0），交y轴于点b（0，－4）．

1）求b、c的值；

2）若m为ab中点，∠pmq在ab的同侧以m为中心旋转，且∠pmq=45°，mp交x轴于点d，mq交y轴于点e，设ad的长为m（m>0），be的长为n，求n和m之间的函数关系式；

3）当m，n为何值时，∠pmq的边经过抛物线与x轴的另一个交点．

巩固】如图，在△abc中，点d、e分别在边bc、ac上，连接ad、de，且∠1=∠b=∠c．

1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明。

答：结论一：；结论二：；结论三：．

2）若∠b=45°，bc=2，当点d在bc上运动时（点d不与b、c重合），求ce的最大值；

若△ade是等腰三角形，求此时bd的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明。

模型二】抛物线中的有关线段最值问题。

问题2：如图，已知抛物线y＝x2-2x-4交x轴正半轴于点a点，交y轴于点c．若点p是直线ac下方抛物线上一动点（点p不与点a、点c重合），过点p作y轴的平行线与直线ac交于点q，1）求当点p在何位置时，线段pq有最大值，最大值是多少？

2）求△apc面积的最大值

3）求点p到直线ac的距离最大值。

变式】：如图1，正方形abcd的边ad在y轴上，抛物线经过点a、b，与x相交于点e、f，且其顶点m在cd上．

1）请直接写出点a的坐标并写出的值。

2）若点p是抛物线上一动点（点p不与点a、点b重合），过点p作y轴的平行线与直线ab交于点g，与直线bd交于点h，如图2．

2）①当线段ph=2gh时，求点p的坐标；

当点p在直线bd下方时，点k在直线bd上，且满足△kph∽△aef，求△kph面积的最大值．

巩固】如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于a、b两点，点a在x轴上，点b的横坐标为－8．

1) 求该抛物线的解析式；

2)点p是直线ab上方的抛物线上一动点(不与点a、b重合)，过点p作x轴的垂线，垂足为c，交直线ab于点d，作pe⊥ab于点e．

设△pde的周长为，点p的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；

连接pa，以pa为边作图示一侧的正方形apfg．随着点p的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点f或g恰好落在轴上时，求出对应点p的坐标．