13梯形九年级数学培优辅导

九年级数学培优辅导(13)

制卷人：朱武雄班级姓名。

一专题内容：二次函数中的存在性——梯形存在性。

二专题分析

梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形运动有关，需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力．

梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四个点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k相等而b不相等．

若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的rt△；

若是直角梯形，则需联结对角线或过上底的一顶点作下底的高构造rt△

三考点技巧。

解梯形的存在性问题一般分三步：

第一步分类，第二步画图，第三步计算。

一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形。过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点。

因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便。

四例题讲解针对训练。

1 已知直角坐标系中有一点a（﹣4，3），点b在x轴上，△aob是等腰三角形．

1）求满足条件的所有点b的坐标；

2）求过o，a，b三点且开口向下的最简答的抛物线的函数表达式（顶点式）（只需求出满足条件的一条即可）；

3）在（2）中求出的抛物线上存在点p，使得以o，a，b，p四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点p的坐标。

五学生练习。

1 如图：二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于a（﹣0.5，0），b（2，0）两点，且与y轴交于点c．

1）求该抛物线的解析式，并判断△abc的形状；

2）在x轴上方的抛物线上有一点d，且a、c、d、b四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出d点的坐标；

3）在此抛物线上是否存在点p，使得以a、c、b、p四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出p点的坐标；若不存在，说明理由。

2已知，在rt△oab中，∠oab=90°，∠boa=30°，ab=2 。若以o为坐标原点，oa所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点b在第一象限内。将rt△oab沿ob折叠后，点a落在第一象限内的点c处。

1）求点c的坐标；

2）若抛物线y=ax2＋bx（a≠0）经过c、a两点，求此抛物线的解析式；

3）若(2)中抛物线的对称轴与ob交于点d，点p为线段db上一点，过p作y轴的平行线，交抛物线于点m。问：是否存在这样的点p，使得四边形cdpm为等腰梯形？

若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。

3如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过a（0，4）、b（﹣2，0）、c（6，0）．过点a作ad∥x轴交抛物线于点d，过点d作de⊥x轴，垂足为点e．点m是四边形oade的对角线的交点，点f在y轴负半轴上，且f（0，﹣2）．

1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形oade的形状；

2）当点p、q从c、f两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿cb、fa方向运动，点p运动到o时p、q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒，在运动过程中，以p、q、o、m四点为顶点的四边形的面积为s，求出s与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

3）在抛物线上是否存在点n，使以b、c、f、n为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点n的坐标；不存在，说明理由。

六课外作业。

1如图，抛物线y=ax2+bx经过点a（﹣4，0）、b（﹣2，2），连接ob、ab，1）求该抛物线的解析式．

2）求证：△oab是等腰直角三角形．

3）将△oab绕点o按逆时针方向旋转135°，得到△oa′b′，写出a′b′的中点p的坐标，试判断点p是否在此抛物线上．

4）在抛物线上是否存在这样的点m，使得四边形abom成直角梯形，若存在，请求出点m坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由．

2如图，在平面直角坐标系中，已知点a（﹣2，﹣4），ob=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点a、o、b三点．

1）求抛物线的函数表达式；

2）若点m是抛物线对称轴上一点，试求am+om的最小值；

3）在此抛物线上，是否存在点p，使得以点p与点o、a、b为顶点的四边形是梯形．若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由．