巧算有理数。
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．
1、若，则。
a． b． c．1 d．2
2、若，，，则( )
a．a3、下列命题中，正确的是( )
a．若，则
b．一个数的绝对值的相反数和这个数的相反数的绝对值不可能相等；
c．倒数等于其自身的数只有1；
d．负数的任意次幂都不会是0；
4、小球p从点a开始左右来回滚动8次，若规定向右为正向左为负，且这8次滚动记录为(单位：毫米)：+12，－10，+9，－6，+8.5，－6，+8，－7
1)求小球p停止时所在位置距a点有___毫米；
2)如果小球每滚动1毫米耗时0.02秒，则小球p的这8次滚动共用时间___秒；
5、同学们在玩数7的游戏，从1开始轮流数，凡是碰到含有数字7的数或者7的倍数，轮到的人必须说“过”，当大家成功数到100的时候，一共说了___个“过”。
6、同学们经常用扑克牌玩24点的游戏，即随意拿出4张牌，每张牌上的数字只能用一次且只能用四则运算＋、－列算式，算式的最终结果为7.这天出现了这四张牌，你知道这4个数怎样得出24吗？请写出表达式。
8.若，求的值。
9、下表列出了几个城市和北京市的时差，其中正数表示同一时刻比北京时间早的小时数。如果现在北京时间是2023年2月28日10：00。
那么，莫斯科时间和温哥华相差___小时；此刻纽约的时间为2023年___月___日___时；
8、从1到2013这2013个自然数中，与21互质的数共有___个；
9、算式的结果末尾有___0
10.同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离。试探索：
1)求|5－(－2
2)找出所有符合条件的整数，使得=7,这样的整数是___
1．括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
1 计算：2 计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445．
3 计算：s=1-2+3-4+…+1)n+1·n．
4 .在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
5 计算 3001×2999的值．
6 计算 103×97×10 009的值．
7 计算：8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
9 计算：10 计算：
11．观察算式找规律。
某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
12. 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
13 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．
14 计算：
1.分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．
注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．
2.分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第。
一、第四项和第。
二、第三项分别结合起来计算．
解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．
3.分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第。
一、第二项，第。
三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．
解 s=(1-2)+(3-4)+…1)n+1·n．
下面需对n的奇偶性进行讨论：
当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有。
当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有。
4.分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．
现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”显然。
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即。
所以，所求最小非负数是1．
说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．
2．用字母表示数。
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， ①
这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．
5.解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．
6. 解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．
7.分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得。
n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．
8. 分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．
解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)
9. 分析在前面的例题中，应用过公式 (a+b)(a-b)=a2-b2．
这个公式也可以反着使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．
本题就是一个例子．
通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．
我们用一个字母表示它以简化计算．
11.分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为。
+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．
12.分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．
解用字母s表示所求算式，即s=1+3+5+…+1997+1999． ①
再将s各项倒过来写为 s=1999+1997+1995+…+3+1． ②
将①，②两式左右分别相加，得。
2s=(1+1999)+(3+1997)+…1997+3)+(1999+1)
2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．
从而有 s=500 000．
说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．
13.分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解设s=1+5+52+…+599+5100， ①
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