九年级数学同步练习：与圆有关的位置关系。
例1、已知：⊙a、⊙b、⊙c的半径分别为，且两两相切，求ab、bc、ca的长解：分类讨论：
1)当⊙a与⊙b外切时，分4种情况：①如图1，ab=5，bc=8，ca=7;②如图2，ab=5，bc=2，ca=3;③如图3，ab=5，bc=8，ca=3;④如图4，ab=5，bc=2，ca=7;(2)当⊙a与⊙b内切时，分2种情况：①如图5，ab=1，bc=2，ca=3;②如图6，ab=1，bc=8，ca=7.
说明：此题需要两次分类，但关键是以什么为标准进行分类，才能不重不漏。
例2、已知两个等圆⊙ol和⊙o2相交于a，b两点，⊙ol经o2。求olab的度数。
分析：由所学定理可知，o1o2是ab的垂直平分线，又⊙o1与⊙o2是两个等圆，因此连结o1o2和ao2，ao1，△o1ao2构成等边三角形，同时可以推证⊙ol和⊙o2构成的图形不仅是以o1o2为对称轴的轴对称图形，同时还是以ab为对称轴的轴对称图形。从而可由olao2=60，推得olab=30.
第1页。解：⊙o1经过o2，⊙o1与⊙o2是两个等圆ola= o1o2= ao2o1ao2=60，又abo1o2olab =30.
例3、已知r1、r2为两圆半径，圆心距d=5，且r1，r2，r1-r2是方程x3-6x2+11x-6=0的三个根，试判断以r1，r2为半径的两圆的位置关系。
分析：通过解方程，把r1，r2，r1-r2都求出来以后，根据两圆位置关系的判定方法，即可作出结论。解：
将方程x3-6x2+11x-6=0变形得：(x-1)(x-2)(x-3)=0解得：x1=1，x2=2，x3=3∵r1，r2，r1-r2是方程的根。
1)当r1=3，r2=2，r1-r2=1时，两圆外切。(2)当r1=3，r2=1，r1-r2=2时，两圆外离。故由(1)(2)可得：
两圆的位置关系是外切或外离。例4、已知：如图，⊙o1和⊙o2外切于p，直线apc交⊙o1于点a，交⊙o2于c，ab切⊙o2于b，设⊙o1的半径为r1，⊙o2的半径为r2。
求证：分析：因为ab为⊙o2的切线，故ab2=apac，欲证，只须证，连结o1o2，可知点p在o1o2上，通过△o1ap∽△o2cp即可。
第2页。获证。
证明：连结ao1，o2c，o1o2
⊙o1与⊙o2外切于点p，p点在连心线o1o2上。∵o1a=o1p，o2c=o2po1ap=o1pa，o2cp=o2pc又o1pa=o2pco1ap=o2cp△o1ap∽△o2cp
ab切⊙o2于b点，ab2=apac===1+=1+
例5、如图，⊙o1与⊙o2相交于a、b两点，pt切⊙o1于a，交⊙o1于p，pb的延长线交⊙o1于c，ca的延长线交⊙o2于d，e是⊙o1上一点，且ae=ac，eb的延长线交⊙o2于f，连结af、df、fd。
求证：(1) △pad为等腰三角形；(2) df∥pa;(3) af2=pbef分析：(1)要证△pad为等腰三角形，可连结ab，利用公共弦将两圆中的角有机地联系起来，不难得到dap=tac=abc=pda
2)要证df∥pa，可设法证明fdp=dpa，易知。
edp=ebp=ebc=eac，连结ec，证明△adp∽△eac即可。(3)由切割线定理可得pa2=pbpc，可设法证明af=ap，ef=pc，即可获证。
第3页。证明：连结ab、ec(1) ∵at切⊙o1于a，tac=abc(弦切角定理)
又abc=pda(圆内接四边形的性质定理)tac=pda
tac=pad(对顶角)pda=padpd=pa
pda为等腰三角形。(2) ∵ae=ac△aec为等腰三角形。
又△pda为等腰三角形，且aec=abc，abc=pdaaec=pda
aec∽△pda(相似三角形判定定理1)eac=dpa
又eac=ebc=fbp=fdp efp=dpa df∥pa(3) ∵ae=ac aef=acp apc=afe△apc∽△afe
af=ap，ef=pc又pa2=pbpc(切割线定理)af2=pbef
例6、如图⊙o1和⊙o2相交于a、b，过a作直线交⊙o1于c，交⊙o2于d，m是cd中点，直线bm交⊙o1于e，交⊙o2
第4页。于f。求证：me=mf。
分析：要证me=mf，结合已知mc=md，若连结ce、df，只需证△cme∽△dmf，连结公共弦ab，以两圆的公共圆周角abe为桥梁，可证得d。证法一：
连结ce、df、ab，∵abe，abe，d
又∵cm=dm，cmf=dmf△cme∽△dmfme=mf
分析二：考虑到me是⊙o1中相交两弦ca、eb被交点分成的一段，mf是m向⊙o2所引割线，因此可用圆幂定理来证明。证法二：在⊙o1中，∵弦ca、eb相交于点memmb=cmma
在⊙o2中，∵mad、mfb是⊙o2的两割线mfmb=mamd∵mc=mdmemb=mfmbme=mf
例7、已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是时，相应两。
第5页。圆的位置关系如何？解：设大圆半径r=5x
两圆半径之比为5: 3，小圆半径r=3x，∵两圆内切时圆心距等于6，5x-3x=6，x=3，大圆半径r=15，小圆半径r=9，当两圆圆心距dl=24时，有dl=r+r，此时两圆外切；当两圆圆心距d2=5时，有d2当两圆圆心距d3=20时，有r-r
当两圆圆心距d4=0时，两圆圆心重合，两圆为同心圆。说明：注重两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力和数形结合能力。
例8、(武汉市，2019)已知：如图，⊙o和⊙o1内切于a，直线oo1交⊙o于另一点b，交⊙o1于另一点f，过b点作⊙o1的切线，切点为d，交⊙o于c点，deab垂足为e.求证：
(1)cd=de;
2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？请证明你的结论。证明：
(1)连结df、ad，af为⊙o1的直径，fdad，又deab，dfe=eda，bc为⊙o1的切线，cda=dfe，cda=eda，第6页。
连结ac，∵ab为⊙o的直径，acbc，又ad公共，rt△eda≌rt△cda，cd=de.
2)当两圆外切时，其他条件不变，(1)中的结论仍成立。证法同(1).
说明：①此题应用如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上、双垂直、弦切角、全等三角形等知识；②第(2)问是开放性问题。
例9、已知两相交圆的半径分别为8cm和5cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距。解：分两种情况：
1)如图1，设⊙o1的半径为r1=8cm，⊙o2的半径为r2=5cm.圆心ol，02在公共弦的异侧。∵o1o2垂直平分ab，ad=ab=3cm.连o1a、o2a，则，(cm).
2)如图2，圆心ol，02在公共弦ab的同侧，同理可求02d=4cm，01d=(cm).(cm).
说明：本题要求我们自己作图计算，究竟两圆的圆心在公共弦的同侧，还是异例题设中没有交待，需要我们自己去研究。因此，凡做到没有图形的几何题时，要特别当心，有可能有。
第7页。几种位置形状的图形。【巩固练习】（一）填空。
1.已知⊙o1与⊙o2交于a，b两点，连结o1o2交⊙o1于c.若acb=120，ac=6cm，则ab的长是___
2.已知⊙o1与⊙o2交于a，b两点，若⊙o1的半径为5，ab=6，o1o2=7，则bo2a=__度。
3.若三个圆两两外切，圆心距分别是6，8，10，则这三个圆的半径分别是___
4.设⊙o1与⊙o2相交于a，b两点，且o1在⊙o2上，o2在⊙o1上，则ao1b=__度。
5.已知两等圆外切，并且都与一个大圆内切。若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm.则大圆的半径是___cm.
6.如果两个圆的一个公共点关于连心线有对称点(对称点不是公共点本身)，那么这两圆的位置关系是___7.如果两个圆有一个公共点在连心线上，则这两个圆的位置关系是___
8.已知⊙o1与⊙o2是等圆，相交于a，b两点。若ao1b=60，o1a=1cm，则o1o2的长是___
9.若两个圆有且只有一个公共点，则这个公共点一定在。
第8页。___直线上。
10.已知两圆相交于a、b两点，连心线交ab于e，若ae=cm，则ab=__cm.
11.相切两圆的___经过切点。
12.相交两圆的连心线___两圆的公共弦。
第9页。
圆的有关性质九年级数学上册同步练习
24.1 圆的有关性质。一 选择题 共20小题 1 2018安顺 已知 o的直径cd 10cm，ab是 o的弦，ab cd，垂足为m，且ab 8cm，则ac的长为 a 2cm b 4cm c 2cm或4cm d 2cm或4cm 2 2018张家界 如图，ab是 o的直径，弦cd ab于点e，oc 5...
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