2023年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对于任意向量、、，下列命题中正确的是。
a． b． c． d．
2．直线与圆的位置关系是。
a．相交b．相切c．相离d．取决于的值。
文3（理1）．若（是虚数单位）是关于的方程（）的一个解，则。
abcd．
4．已知函数的图象如图1所示，则其导函数的图象可能是。
5．若函数的一个对称中心是，则的最小值为。
a．1b．2c．4d．8
6．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于。
圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两。
部分，则截面的面积为。
ab． cd．
7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是。
a．8年b．10年c．12年d．15年。
8．记实数，，…中的最大数为，最小数为，则。
ab．1c．3d．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
一）必做题（9～13题）
9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量 ．
10．已知为锐角，且，则 ．
11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．
12．已知函数，点集，，则所构成平面区域的面积为 ．
13．数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则 ；
二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题。
14．（几何证明选讲选做题）在△中，是边的中点，点**段上，且满足，延长交于点，则的值为 ．
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点，点是曲线上任意一点，设点到直线的距离为，则的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
某单位有、、三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为， ，假定、、、四点在同一平面内．
1）求的大小；
2）求点到直线的距离．
17．（本小题满分12分）
已知正方形的边长为2，分别是边的中点．（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；
2）从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望．
18．（本小题满分14分）
等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图3）．将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图4）．
1）求证：平面；（2）**段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分14分）
已知，设命题：函数在区间上与轴有两个不同的交点；命题：在区间上有最小值．若是真命题，求实数的取值范围．
20．（本小题满分14分）
经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为．点、在轨迹上，且关于轴对称，过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点、．
1）求轨迹的方程；
2）证明：；
3）若点到直线的距离等于，且△的面积为20，求直线的方程．
21．（本小题满分14分）
设是函数的零点．
1）证明：；
2）证明： ．
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