广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
参考公式：如果事件a，b相互独立，那么。
线性回归方程中系数计算公式，18.（本小题满分14分）
如图4，在三棱柱abc-a1b1c1中，是边长为2的等边三角形，平面abc，d，e分别是cc1，ab的中点。
1)求证：ce//平面a1bd；
(2)若h为a1b上的动点，当ch为平面a1ab所成最大角的正切值为。
时，求平面a1bd与平面abc所成二面角（锐角）的余弦值。
19.（本小题满分14分）
已知数列的前n项和为sn，且。
1)求数列的通项公式；(2)若p,q,r是三个互不相等的正整数，且p,q,r成等差数列，试判断。
是否成等比数列？并说明理由。
20.（本小题满分14分）
已知椭圆c1的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点a（2，3）在椭圆c1上，过点a的直线l与抛物线交于b，c两点，抛物线c2在点b，c处的切线分别为，且与交于点p.
1)求椭圆c1的方程；
2)是否存在满足的点p？若存在，指出这样的点p有几个（不必求出点p的坐标）；若不存在，说明理由。
21.（本小题满分14分）
已知二次函数，关于x的不等式的解集为，其中m为非零常数。设。
1)求a的值；
2)如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；
3)若m=1，且x>0，求证：
参***。18．（本小题满分14分）
本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）
解法一：1） 证明：延长交的延长线于点，连接。
2） ∵且，∴为的中点2分。
∵为的中点，
3分。平面，平面，∥平面4分。
2）解：∵平面，平面，5分
∵△是边长为的等边三角形，是的中点，∵平面，平面，平面6分。
为与平面所成的角7分，在rt△中，当最短时，的值最大，则最大8分。
当时，最大。 此时，.
9分。∥，平面，平面10分。
平面，平面，11分。
为平面与平面所成二面角（锐角12分。
在rt△中，，.13分。
平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为。 …14分。
解法二：1）证明：取的中点，连接、.
为的中点，∥，且1分。
∥，且，2分。
四边形是平行四边形。
3分。平面，平面，∥平面4分。
2）解：∵平面，平面，5分。
∵△是边长为的等边三角形，是的中点，∵平面，平面，平面6分。
为与平面所成的角7分，在rt△中，当最短时，的值最大，则最大8分。
当时，最大。 此时，.
9分。在rt△中，.
rt△～rt△，，即。
10分。以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系。
则，，，设平面的法向量为，由，得
令，则。平面的一个法向量为12分。
平面， ∴是平面的一个法向量。
13分。平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为。 …14分。
19．（本小题满分14分）
本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力）
(1) 解：， 当时，有解得1分。
由。得2分。
- 得3分。
以下提供两种方法：
法1：由③式得：，
即4分。5分，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，即6分。
当时7分。又也满足上式，8分。
法2：由③式得：，得4分。
当时5分。-④得6分。
由，得，7分。
数列是以为首项，2为公比的等比数列8分。
2）解：∵成等差数列，9分。
假设成等比数列，则10分。
即，化简得11分，，这与(*)式矛盾，故假设不成立。…13分。
不是等比数列14分。
20．（本小题满分14分）
本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
1) 解法1：设椭圆的方程为，依题意： 解得2分。
椭圆的方程为3分。
解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即1分。
2分。 椭圆的方程为3分。
2)解法1：设点，，则，三点共线，
4分。化简得5分。
由，即得6分。
抛物线在点处的切线的方程为，即。 ②
同理，抛物线在点处的切线的方程为8分
设点，由②③得：，而，则9分。
代入②得10分。
则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为。
………11分。
若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，……12分。
直线经过椭圆内一点，直线与椭圆交于两点13分。
满足条件的点有两个14分。
解法2：设点，由，即得4分。
抛物线在点处的切线的方程为，即5分， ∴
点在切线上6分。
同理7分。综合①、②得，点的坐标都满足方程。 …8分。
经过的直线是唯一的，直线的方程为9分。
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