高二数学期末复习（4） 2009．01
一、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1. 命题“x∈r，x2＋2x＋2≤0.”的否定是 ▲ 命题．
2. 某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样方法，从该校学生中抽取一个120人的样本．则样本中高三学生人数为 ▲
3. 如图1，函数y＝f(x)的图象在点p处的切线是l，则f(2)＋f＇(2)＝
4. 已知伪**如下，则输出结果s＝ ▲
i←0s←0
while i＜6
i←i＋2s←s＋i2
end while
print s
5. 在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出两个数字，则取出的两个数字一个奇数一个偶数的概率是 ▲ 结果用数值表示）．
6. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看见红灯的概率是 ▲
7. 过抛物线y＝x2焦点的一条直线与抛物线交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则ab
8. 函数y＝x＋的单调递减区间是。
9. 两个正数m，n的等差中项是5，等比中项是4.若m＞n，则椭圆＋＝1的离心率的大小为。
10. 椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率，焦距是8，则该椭圆的方程为 ▲
11. 过双曲线x2－y2＝4的右焦点f2有一条弦pq，pq＝7，f1是左焦点，那么△f1pq的周长为。
12. “函数y＝f(x)的单调递减区间为(－1，1)”是“函数y＝f(x)在区间(－1，1)内单调递减”的 ▲ 条件（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分也不必要”之一）．
二、解答题（本大题5小题，共52分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
13. （本小题共8分）
命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根，若“p且q”为真命题，求m的取值范围。
14. （本小题共10分）
如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
1）79.5到89.5这一组的频率、频数分别是多少？
2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）.
3）估计这次环保知识竞赛的平均分。
15. （本小题共10分）
一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示。一辆卡车运载一个长方形的集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计4.2米，箱宽3米，若要求通过隧道时，车体不得超过中线。
试问这辆卡车是否能通过此隧道，请说明理由。
16. （本小题共12分）
设f1，f2分别是椭圆＋y2＝1的左，右两个焦点。
1）若点p是该椭圆上的一个动点，求pf1·pf2的最大值和最小值；
2）设过定点m(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点a，b，且∠aob为锐角（其中o为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。
17. （本小题共12分）
已知a是实数，函数f(x)＝(x－a).
1）求证：曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线过一个定点，并求出该定点；
2）求y＝f(x)的单调区间；
3）设g(a)为f(x)在[0，2]上的最小值，求a的取值范围，使－6≤g(a)≤－2.
参***：1． 真。
8． [2，0)和(0，2]
12． 充分不必要。
13． m的取值范围是(－3，－2).
14． （1）频率为0.25，频数为15；
2）及格率为75%；
3）平均分约为70.5.
15． 能通过。
建立合适的坐标系（如图）
设椭圆的方程为＋＝1，(其中a＞b＞0)，根据图示可知，a＝5，b＝2.
因此椭圆的方程为＋＝1(其中y＞0).
方法一：当x＝3时，y＝.
隧道高度为3＋＝4.6＞4.2(米)，所以卡车能够通过。
方法二：当y＝1.2时，x＝±4.
车辆的宽度3＜4(米)，所以卡车能够通过。
16． （1）最大值为1，最小值为－2；
因为f1，f2分别是椭圆＋y2＝1的左，右两个焦点，所以f1(－，0)，f2(，0)，设点p的坐标为(x，y)，且＋y2＝1，则·＝(x2－3)＋y2＝(x2－3)＋(1－)＝2，其中x∈[－2，2]，因此当x＝0时，·取得最小值－2，因此当x＝－2或2时，·取得最大值1.
过定点m(0，2)的直线l的斜率存在，如果不存在，直线l与椭圆的两个交点分别为a(0，－1)，b(0，1)，此时a，o，b三点共线，因此直线l的斜率存在。
设过定点m(0，2)的直线l的方程为y＝k(x－0)＋2，即直线l的方程为y＝kx＋2，联立方程组消去y，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，因为直线与椭圆交于不同的两点a，b，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，所以△＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，……
且x1＋x2＝，x1x2＝，因为∠aob为锐角（其中o为坐标原点），所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)
(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
(1＋k2)＋2k＋4
(12＋12k2－32k2＋4＋16k2)
(16－4k2)＞0……②
联立上述两个条件，得直线l的斜率k的取值范围是(－2，－)2).
17． （1）过定点(－1，－2)；
2）若a≤0，f(x)在[0，＋∞上单调递增；
若a＞0，f(x)在[0，]上单调递减，在[，＋上单调递增；
3）a的取值范围是3≤a≤2＋3.
f(x)＝(x－a)＝x1.5－ax0.5，f’(x)＝x0.
5－ax－0.5，当x＝1时，f(1)＝1－a，f’(1)＝－a，因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(－a)(x－1)＋(1－a)，化简，得y＝－a(x＋1)＋x－，当x＝－1时，y＝－2，与a无关，因此直线过定点(－1，－2).
函数的定义域为[0，＋∞令f’(x)＝x0.5－ax－0.5＝0，解得x＝，若a≤0时，f(x)在[0，＋∞上单调递增；
若a＞0，f(x)在[0，]上单调递减，在[，＋上单调递增。
若a≤0时，f(x)在[0，＋∞上单调递增，因此f(x)在[0，2]上的最小值为f(0)，即g(a)＝f(0)＝0；
若a＞0，f(x)在[0，]上单调递减，在[，＋上单调递增，当0＜a＜6时，＜2，因此f(x)在[0，2]上的最小值为f()，即g(a)＝f()＝
当a≥6时，≥2，因此f(x)在[0，2]上的最小值为f(2)，即g(a)＝f(2)＝(2－a)；
即g(a)＝
解不等式：－6≤g(a)≤－2，得。
或或。解上述方程组得a的取值范围是3≤a≤2＋3.
考试范围：算法，统计，概率，命题，曲线，导数，复数。
附加： 若复数x满足方程x2＋x＋1＝0，则x3＝ ▲
高二数学期末复习 4
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