高二数学期末复习 4

常熟市浒浦高级中学高二数学期末复习（4）

选修2-2 导数及其应用 6/10

姓名。1．函数在上的最小值是。

2．曲线在点处的切线方程为。

3．已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为___

4．函数f(x)＝x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是___

5．函数的单调减区间为。

6．设，若函数有大于零的极值点，则的取值范围是___

7．已知为定义在(0，+∞上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为。

8．若不等式对任意的，恒成立，则实数的取值范围是．

9．已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若x1∈[1,2],x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是。

10．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax，若f(x)在(，＋上存在单调递增区间，则a的取值范围为___

11．定义在上的函数满足：，且对于任意的，都有，则不等式的解集为。

12．已知函数的定义域［-1，5］，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的命题正确的是填序号）

函数的值域为［1，2］；

函数在［0，2］上是减函数；

如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；

当时，函数最多有4个零点。

13．已知曲线 y = x3 + x－2 在点 p0 处的切线平行于直线4x－y－1=0，且点 p0 在第三象限，求p0的坐标；

若直线，且也过切点p0 ,求直线l的方程。

14．已知函数．

1）试求函数的递减区间；

2）试求函数在区间上的最值．

15．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为元，并且每件产品需向总公司交元的管理费，预计当每件产品的售价为元()时，一年的销售量为万件．

1）求该分公司一年的利润(万元)与每件产品的售价的函数关系式；

2）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润最大？并求出的最大值．

16．设p1，p2，p3，…，pn，…是曲线y=上的点列，q1，q2，q3， …qn，…是x轴正半轴上的点列，且△oq1p1，△q1q2p2，…，qn－1qnpn，…都是正三角形，设它们的边长为a1，a2，…，an，…，求证：a1+a2+…+an=n（n+1）.

17．已知椭圆c：＝1(a>b>0)，点a、b分别是椭圆c的左顶点和上顶点，直线ab与圆g：x2＋y2＝(c是椭圆的半焦距)相离，p是直线ab上一动点，过点p作圆g的两切线，切点分别为m、n.

1)若椭圆c经过两点、，求椭圆c的方程；

2)当c为定值时，求证：直线mn经过一定点e，并求·的值(o是坐标原点)；

3)若存在点p使得△pmn为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.

18．已知函数．

1）当时，求的单调区间；

2）若不等式有解，求实数m的取值菹围；

3）证明：当a=0时，．参***。

解析】试题分析：因为，，所以在单调递减，在单调递增，从而函数在上的最小值是。

考点：函数的最值与导数。

解析】试题分析：因为，所以所求切线的斜率，而，故所求的切线方程为即。

考点：导数的几何意义。

解析】f′(x)＝2mx＋－2，根据题意得f′(x)≥0在x∈(0，＋∞上恒成立，所以2m≥－，求出－在x∈(0，＋∞上的最大值为1，则m≥.检验：当m＝时满足题意．

解析】f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞1)和(3，＋∞上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝>0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.

解析】试题分析：因为，解得，因此函数的单调减区间为。

考点：导数求单调区间。

解析】试题分析：由题意得，有大于零的解，即有解，因此。

考点：函数极值。

解析】试题分析：由可得。即函数在(0，+∞上递减。由可得。所以。又因为。所以即。

考点：1.函数导数。2.构建新函数的思维。3.函数的单调性。

解析】试题分析：根据题意，得关于b的函数：，这是一个一次函数，要使对任意的恒成立，则：

，即有：对任意的恒成立，则有：，可令函数，求导可得：

，发现有：，故有：．

考点：1.恒成立问题；2.一次函数的性质；3.函数与导数的运用。

解析】要使x1∈[1,2],x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),只需f(x)=x2+在[1,2]上的最小值大于等于g(x)=-m在[-1,1]上的最小值，因为f′(x)=2x-=≥0在[1,2]上成立，且f′(1)=0,所以f(x)=x2+在[1,2]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=12+=3.

因为g(x)=-m是单调递减函数，所以g(x)min=g(1)=-m,所以-m≤3,即m≥-.

解析】由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－)2＋＋2a，得当x∈[，时，f′(x)的最大值为f′()2a.令＋2a>0，得a>－.

所以a>－时，f(x)在(，＋上存在单调递增区间．

解析】试题分析：设，∵，为上的减函数，又，所以，所以可转化为，∴，又是底数为2的增函数，∴，所以不等式的解集为。

考点：1.函数的单调性与导数；2.单调性在解不等式中的应用。

解析】试题分析：由的导函数的图象可看出（如**），由**可知：函数在区间[-1，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，4）上单调递增，在区间（4，5]上单调递增．∴②正确；

函数在x=0和x=4时，分别取得极大值，在x=2时取得极小值，且由对应值表f（0）=2，f（2）=1.5，f（4）=2，又f（-1）=1，f（5）=1．

函数的值域为[1，2]．∴正确；

根据已知的对应值表及**画出图象如下图：

根据以上知识可得：当时，的最大值是2，则t=0，或4．故③不正确；

由图象可以看出：当1.5＜a＜2时，函数有4个零点；

当a=2时，函数有2个零点；当a=1.5时，函数有3个零点；

当1≤a＜1.5时，函数有4个零点；

当1＜a＜2时，函数最多有4个零点．故④正确．

综上可知①②④正确．

故答案为①②④

考点：应用导数研究函数的单调性、极值，函数的零点。

13．(1) (1,－4);(2)即。

解析】试题分析：（1）根据曲线方程求出导函数，因为已知直线4x-y-1=0的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为4，所以令导函数等于4得到关于x的方程，求出方程的解，即为切点p0的横坐标，代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，又因为切点在第3象限，进而写出满足题意的切点的坐标；

2）根据两直线垂直，斜率乘积为-1，可求出直线l的斜率为，再根据点斜式，即可求出答案。

试题解析：解：⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.

又∵点p0在第三象限，切点p0的坐标为 (－1,－45分。

∵直线，的斜率为4,∴直线l的斜率为，l过切点p0,点p0的坐标为 (－1,－4)

直线l的方程为即 10分。

考点：1.导数在切线中的应用；2.直线的方程。

14．（i）；（2）最大值为，最小值为．

解析】试题分析：（1）首先求导函数，然后再通过解不等式的符号确定单调区间；（2）利用（1）求得极值，然后与、的值进行比较即可求得最值．

i）求导数得：

令即得：，函数在每个区间上为减函数．

2）由（i）知，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，函数在处取极大值，在处取极小值，，∴函数在区间上的最大值为，最小值为．

考点：1、导函数与函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值；3、简单三角函数的解法．

15．（1），；2）当每件产品的售价时，该分公司一年的利润最大，且最大利润万元。

解析】试题分析：（1）解实际应用题，关键是正确理解题意，正确列出等量关系或函数关系式。本题中利润每件产品的利润销售量，进而根据已知即可得出该分公司一年的利润与每件产品的售价的函数关系式；（2）根据（1）中确定的函数关系式，由函数的最值与函数的导数的关系，求出该函数的最大值即可。

1）分公司一年的利润(万元)与售价的函数关系式为。6分。

令，得或(不合题意，舍去8分。

当时，，单调递增；当时，，单调递减 10分。

于是：当每件产品的售价时，该分公司一年的利润最大，且最大利润万元 12分。

考点：导数的实际应用。

答案】证明：（1）当n=1时，点p1是直线y=x与曲线y=的交点，可求出p1（，）

a1=|op1|=.而×1×2=，命题成立。（6分）

2）假设n=k（k∈n*）时命题成立，即a1+a2+…+ak=k（k+1），则点qk的坐标为（k（k+1），0），直线qkpk+1的方程为y= [x－k（k+1）].代入y=，解得pk+1点的坐标为。

ak+1=|qkpk+1|=（k+1）·=k+1）.

a1+a2+…+ak+a k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2）.

当n=k+1时，命题成立。

由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立。（13分）

解析】略。17．（1）＝1.（2）见解析（3）

解析】(1)解：令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝，n＝，得所以m＝，n＝，即椭圆方程为＝1.

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