莆田四中2004-2005（上）高二数学期末试卷2005.1
一、 选择题（每小题5分，共60分）
1. 在下列不等式中，与不等式同解的是（ ）
a． b． c． d．
2. 过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
a． b．
c． d．
3.（文）若，则的最小值为（ ）
a． b． c． d．
（理）设双曲线的半焦距为，两条准线间的距离为，且，那么双曲线的离心率等于（ ）
a． bcd．
4. 已知两点，若直线过点，且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
a． b． c． d．或。
5.椭圆的弦经过点且被平分，则此弦所在直线方程为（ ）
a． b． c． d．
6.（文）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则的值为（ ）
abcd．
（理）抛物线的动弦长为，则动弦的中点到轴的最短距离为（ ）
abcd．
7. 过点向圆作切线，切线长最小为（ ）
abcd．
8. 设为椭圆的两焦点，在椭圆上，当的面积为时，的值为（ ）
abcd．
9. 已知双曲线中心在原点，对称轴在坐标轴上，且过点，它的一条渐近线的方程为，则双曲线的方程为（ ）
a． b． c． d．
10. 已知异面直线与所成的角为，为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有（ ）
a．3条 b．4条 c．5条 d．6条。
11. 在正方体中，设棱长为，分别为，的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
abcd．
12.已知和是两个定点，椭圆和等轴双曲线都以，为焦点，点是和的一个交点，且，对么椭圆的离心率为（ ）
abcd．
二、 填空题（每小题4分，共16分）
13. 对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围为。
14. 在正方体中，和平面所成的角为。
15. 已知在中，，，它所在平面外一点到三个顶点的距离都是，那么到平面的距离是。
16. 下列命题：
动点到二定点的距离之比为常数（且），则动点的轨迹是圆；
椭圆（）的离心率为，则；
双曲线的焦点到渐近线的距离为；
已知抛物线上两点，且，（为坐标原点），则的值是。
以上命题正确的是。
莆田四中2004-2005（上）高二数学期末试卷答题卷。
一、选择题：（每小题5分，共60分）
二：填空题（每小题4分，共16分）
三：解答题（第17—21题，每题12分，22题14分）
17．解关于的不等式：.
18．已知圆关于轴对称且经过抛物线的焦点，若圆被直线分成的两段弧长之比为，求圆的方程。
19．如图，已知正方体的棱长为，、分别是正方形与正方形的中心。
求证： ∥平面。
求证：平面。
若为的中点，求二面角的正切值。
20．甲、乙两地生产某种产品，它们调出的数量分别为吨和吨。三地需要该种产品数量分别为吨，吨和吨。这些地区调出、调进的数量与运费如下：
问取怎样的调运方案，才能使总运费最省？
21．已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且，。
求动点的轨迹方程；
（文科不做）直线与动点的轨迹交于两点，若，且，求直线的斜率的取值范围。
22．（1）已知的两个顶点、，的内心在直线上移动，求第三个顶点的轨迹。
2）过作一条直线交轨迹于两点，问的面积是否有最小值？如果有，求出最小值及这时直线的方程；如果没有最小值，请说明理由。
莆田四中2004-2005（上）高二数学期末试卷答案。
一：选择题。
1．d 2．c 3．（文）d（理）c 4．b 5．b 6．（文）b（理）d
7．d 8．b 9．a 10．c 11．a 12．a
二：填空题13． 14． 15． 16．①②
三：解答题。
17．解：原不等式可化为。
当时，原不等式的解集为空集；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为。
18．解：抛物线的焦点为，设所求圆的方程为， 设垂直于。
由题意得，即， 解得，
所以所求圆的方程为。
19．证明：∥且。
且。四边形为平行四边形。
又平面。平面
平面。面是线在面上的射影。
（三垂线定理）
同理平面。为的中点又为的中点 ∥平面平面。
又平面，平面 ，
就是的二面角的平面角，在中， ，
20．解：设由甲地调到a、b两地产品的吨数分别为和，则由甲地调到c地产品的吨数为，乙地调到a、b、c三地的数量分别为，
且总费用为。
由前四式可推得。
因此约束条件为求，的值。
下图阴影部分为约束条件，当时。
有最大值为（元）
所以由甲地调到a、b、c地的产品的吨数为，由乙地调到a、b、c三地的产品的吨数为时，才能使总运费最省。
21．解：（1）设动点的坐标为。
则，由，得。
因此，动点的轨迹的方程为。
2）设与抛物线交于点。
当与垂直时，则由得。
不合题意，故与轴不垂直；
可设直线的方程为。
则由，得，由点在抛物线上，有，
故，又。解得直线的斜率的取值范围是。
22．解：（1）如图，设，过的内心作于。
于，于。则，，
由在直线上移动得。
故点在以为焦点，实轴长为的双曲线的右支上（去掉右顶点），轨迹方程是：
2）如图，设的方程为，代入点轨迹方程得。
设。则，
由于，故当时。
分子最小，分母最大，最小。
即当轴时，面积最小，最小值为。为子。
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