余弦定理（一）
知识梳理。余弦定理：
1)形式一：，形式二：，，角到边的转换）(2)解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
题型一根据三角形的三边关系求角。
例1．已知△abc中，sina∶sinb∶sinc＝(＋1)∶(1)∶，求最大角。
解：∵＝k
sina∶sinb∶sinc＝a∶b∶c＝(+1)∶(1)∶
设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0)
则最大角为。
c＝120°.
评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2rsina，b＝2rsinb，c＝2rsinc，这一转化技巧，应熟练掌握。
在三角形中，大边对大角，所以角c最大。
题型二已知三角形的两边及夹角解三角形。
例2.在△abc中，=，且，是方程的两根，。
1） 求角c的度数；
2） 求的长；
3）求△abc的面积。
解：(1)
（2）因为，是方程的两根，所以。
评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
备选题正、余弦定理的综合应用。
例3.在中，内角a、b、c的对边长分别为、、，已知，且求b
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有：化简并整理得：.又由已知。解得。
解法二：由余弦定理得： .又，。
所以。又，即。
由正弦定理得，故。
由①，②解得。
评析：从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查。在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力。
此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手。对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分。
例3．在△abc中，角a、b、c所对的边分别为，，，证明：
证明：由余弦定理知：
则。整理得：，又由正弦定理得：
，评析：三角形中的证明，应充分利用正、余弦定理，三角函数的公式，在边、角关系中，明确证明思路，都化为边的关系或都化为角的关系。
点击双基。
1．在△abc中，若a=2, b=2, c=+,则∠a的度数是。
a) 30° (b) 45° (c) 60d) 75°
解：=，a=30°
答案：a2．在△abc中，若则 (
a． b． c． d．
解： 答案：b
3. 在△abc中，若2cosbsina=sinc，则△abc的形状一定是（ ）
a.等腰直角三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形 d.等边三角形。
解：由2cosbsina=sinc得×a=c，∴a=b.
答案：c4．在△abc中，若∶∶∶则。
解：∶∶令
答案： 5. 在△abc中，a，b，c分别是角a，b，c所对的边，已知则a
解：由余弦定理可得，答案：
课后作业。1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
a． b． c． d．
解： 设中间角为，则为所求。
答案：b2. 以为边长的三角形一定是（ ）
a. 锐角三角形 b. 直角三角形 c. 钝角三角形 d. 锐角或钝角三角形。
解：长为6的边所对角最大，设它为， 则。
答案：a3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
abcd.
解：设顶角为c，因为，由余弦定理得：
答案：d4.在中，角a、b、c的对边分别为、、，若，则角b的值为（ ）
abc.或d. 或。
解：由得即。
又b为△abc的内角，所以b为或。
答案：d 5．在△abc中，若，则最大角的余弦是（ ）
a． b． c． d．
解： ，为最大角，答案：c
6. 在中，，则三角形为（ ）
a. 直角三角形b. 锐角三角形。
c. 等腰三角形d. 等边三角形。
解：由余弦定理可将原等式化为。
答案：c7.的内角的对边分别为，若，则等于（ ）
a． b．2 c． d．
解：由余弦定理得，，6=a+2+aa=或-2（舍去）
答案：d8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ ）
a. 52 bc. 16 d. 4
解：由题意得或2（舍去）
答案：b二．填空题。
9.△abc中，若，则a
解：= a=
答案：10．在△abc中，若则△abc的形状是。
解： 为最大角，为锐角。
答案：锐角三角形。
11．在锐角△abc中，若，则边长的取值范围是。
解： 答案：
三．解答题。
12.在△abc中：
1)已知b＝8，c＝3，a＝60°，求a；
2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求b；
3)已知a＝3，c＝2，b＝150°，求b；
4)已知a＝2，b＝，c＝＋1，求a.
解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosa得。
a2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a＝7.
2)由cosb＝得。
cosb＝＝0，∴b＝90°.
3)由b2＝a2＋c2－2accosb得。
b2＝(3)2＋22－2×3×2cos150°＝49，∴b＝7.
4)由cosa＝得。
cosa＝＝，a＝45°.
13在△abc中，，求。
解：，而。所以
14半径为r的圆外接于△abc，且2r(sin2a-sin2c)＝(a-b)sinb．求角c；
解：(1)∵
2r(sin2a-sin2c)＝(a－b)sinb
2r［()2-()2］＝(a-b)·∴a2-c2＝ab-b2
∴ cosc＝，∴c＝30°
余弦定理基础卷 1
命题 马老师2016年03月08日。一 选择题 共10小题 1 2016合肥一模 abc的角a，b，c的对边分别为a，b，c，若cosa c a 2，b 3，则a a 2 b c 3 d 2 2016重庆校级模拟 在 abc中，内角a，b，c的对边长分别为a，b，c，已知a2 c2 b，且sin a...
余弦定理的三种证明
abc中的三个内角 a，b，c的对边，分别用表示。余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即。证明 按照三角形的分类，分三种情形证明之。1 在中，如图1 1 根据勾股定理 因为，所以。因为，所以。因为，所以。2 在锐角 abc中，如图1 2 作于点，有。...
余弦定理的证明方法大全 共十法1
一 余弦定理。余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍，即在中，已知，则有。二 定理证明。为了叙述的方便与统一，我们证明以下问题即可 在中，已知，及角，求证 证法一 如图1,在中，由可得 即，证法二 本方法要注意对进行讨论。1 当是直角时，由知结论成立。...