兰州一中2014-2015学年第一学期高二年级期末考试。
数学试题 (理)
说明:本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分100分,考试时间100分钟。答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡)
第卷(选择题)
一、选择题(每小题3分,共30分,将答案写在答题卡上)
1.下列命题错误的是 (
a.命题“若,则”的逆否命题为“若,则”
b.若命题,,则“”为:
c.“ 是“”的充分不必要条件。
d.若p:或;q:或,则是的必要不充分条件。
答案:d2.过点p(2,4)且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的的直线有( )
a. .0条 b.. 1条 c. 2 条 d.. 3条。
答案:c3.双曲线的一条渐近线方程是 (
a. b. c. d.
答案:b4.设点,则ab的中点到c的距离为( )
abcd.答案:a
5.曲线与曲线的( )
a. 焦点相同 b.离心率相等 c.准线相同 d.焦距相等。
答案:d6.已知命题s为“pq”是真命题,那么命题“pq”及的真假是( )
a. 真、真 b.假、假 c.真、假 d.以上都不对。
答案:c7.已知向量,且,则k的值为( )
abcd.1
答案:a8.如图,在正三棱柱中,.若二的大小为,则点到平面的距离为 (b )
abc. d.
9.已知线段ab、bd在平面内,abd=120°,线段ac,如果ab=a,bd=b,ac=c,则线段cd的长为( )
ab. cd.
答案:c 提示:
10.已知f是双曲线的左焦点,e是该双曲线的右顶点,过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a、b两点,若δabe是锐角三角形,则。
该双曲线的离心率e的取值范围为( )
a.(1,+∞b.(1,2) c.(1,1+) d.(2,1+)
答案:b第卷(非选择题)
二、填空题(第13小题6分,其余每小题4分,共18分,将答案写在答题卡上)
11.设双曲线c经过点(2,2),且与具有相同渐近线,则c的方程为___
答案: 12.对于以下命题:
是共线的充要条件;
②对空间任意一点o和不共线的三点a、b、c,若,则p、a、b、c四点共面。
如果,那么与的夹角为钝角
若为空间一个基底,则构成空间的另一个基底;
若,则。其中不正确结论的序号是。
答案:①③13.已知椭圆与双曲线的公共焦点为f1,f2,点p是两条曲线的一个公共点,则cos∠f1pf2的值为。
答案:14.若椭圆与直线交于a,b两点,若,则过原点与线段ab的中点m的连线的斜率为。
答案: 解:设弦ab的端点坐标分别为,中点为,代入椭圆方程,点差法可得:,由于,所以.
点拨:本问题原本有一定的运算,但这里运用“点差法”,设而不求,简化了运算.
兰州一中2014-2015学年第一学期高二年级期末数学试题。
答题卡 (理)
第卷(选择题)
一、选择题(每小题3分,共30分)
第卷(非选择题)
二、填空题(第13小题6分,其余每小题4分,共18分)
三、解答题(本题共5小题,共52分)
15.(8分)已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点.
ⅰ)求双曲线方程;
ⅱ)若点在双曲线上,求证:;
ⅲ)对于(2)中的点,求的面积.
解析:(ⅰ由题意,可设双曲线方程为,又双曲线过点,解得。
故双曲线方程为3分
ⅱ)由(ⅰ)可知,,,又点在双曲线上, ∴即6分。
ⅲ) 的面积为6.
8分。16. (10分)
在如图所示的空间几何体中,平面平面,与是边长为的等边三角形,,和平面所成的角为,且点在平面上的射影落在的平分线上.
ⅰ)求证:平面;
ⅱ)求二面角的余弦值.
解:(ⅰ由题意知,,都是边长为2的等边三角形,取中点,连接,则2分。
又∵平面⊥平面,∴⊥平面,作⊥平面,那么,根据题意,点落在上,,易求得,……4分。
四边形是平行四边形,∴,平面………6分。
ⅱ)解法一:作,垂足为,连接,⊥平面,∴,又,平面,∴,就是二面角的平面角.……9分。
中,,,.即二面角的余弦值为。……12分。
17.如图,在直三棱柱中, .
ⅰ)若d为中点,求证:平面平面;
ⅱ)若二面角b1—dc—c1的大小为60°,求ad的长。
解法一:(ⅰ又由直三棱柱性质知,∴平面acc1a1.∴…
由d为中点可知,即……②
由①②可知平面,又平面,故平面平面。
ⅱ)由(1)可知平面acc1a1,如图,在面acc1a1内过c1作,交cd或延长线或于e,连eb1,由三垂线定理可知为二面角b1—dc—c1的平面角,由b1c1=2知,设ad=x,则∵的面积为1,∴,解得,即。
解法二:(ⅰ如图,以c为原点,ca、cb、cc1所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系。 则 c(0,0,0),a(1,0,0),b1(0,2,2),c1(0,0,2),d(1,0,1).
即。得;又,∴平面b1c1d.又平面b1cd,平面平面。
ⅱ)设ad=a,则d点坐标为(1,0,a),设平面b1cd的法向量为。 则由得,又平面c1dc的法向量为,则由,即,故。
18.(本题满分12分)已知定点(1,0)和定圆b:动圆p和定圆b相切并过a点,1) 求动圆p的圆心p的轨迹c的方程。
2) 设q是轨迹c上任意一点,求的最大值。
解:(1)设,则,所以点p的轨迹是以a,b为焦点,长轴长为4的椭圆。
所以点p的轨迹方程是。
2)设则。当且仅当时取“=”的最大值是。
19.已知两点及,点在以、为焦点的椭圆上,且、、构成等差数列.
ⅰ)求椭圆的方程;
ⅱ)如图,动直线与椭圆有且仅。
有一个公共点,点是直线上的两点,且。
求四边形面积。
的最大值.解:(ⅰ依题意,设椭圆的方程为.
构成等差数列,又,故.
从而,椭圆的方程为4分
ⅱ)将直线的方程代入椭圆的方程中,得5分。
由直线与椭圆仅有一个公共点知,化简得6分。
设8分。法一)当时,设直线的倾斜角为,则。
10分。又,当时,,,
当时,四边形是矩形11分。
故四边形面积的最大值为12分。法二),
四边形的面积, …10分。
12分。当且仅当时,,故.
所以四边形的面积的最大值为.
补充:20、设为抛物线准线上的任意一点,过点作曲线的两条切线,设切点为、.
ⅰ)直线是否过定点?如果是,求出该定点,如果不是,请说明理由;
ⅱ)当直线的斜率均存在时,求证:直线的斜率的倒数成等差数列。
说明:考查圆锥曲线切线,直线过定点,圆锥曲线计算能力等。难题。
解:(ⅰ设,两切点为,
由得,求导得.
两条切线方程为 ①
……2分
对于方程①,代入点得,,又,整理得:,同理对方程②有,即为方程的两根.
4分。设直线的斜率为,所以直线的方程为,展开得:
代入③得:∴直线恒过定点6分
另解:同上得两条切线方程为 ①
得 ab方程为即。
直线恒过定点6分。
ⅱ)证明:由(ⅰ)的结论,设,, 且有, ∴又∵,所以。
即直线的斜率倒数成等差数列.……12分。
另解:设切线方程为
由。因为直线与抛物线相切。
所以………知切线ma,mb的斜率是方程①的两个根。所以 又。
即直线的斜率倒数成等差数列.……12分。
21. (本小题满分12分)如图,已知椭圆的方程为,双曲线的两条渐近线为.
过椭圆的右焦点作直线,使,又与交于点,设与椭圆的两个交点由上至下。
依次为,.1)若与的夹角为60°,且双曲线的焦距为4,求椭圆的方程;
2)求的最大值.
解:(1)因为双曲线方程为,所以双曲线的渐近线方程为。
1分。因为两渐近线的夹角为且,所以.
所以2分。所以.
因为,所以,所以,.
所以椭圆的方程为.
4分。2),故直线与的方程为,其中.
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