兰州一中2014-2015学年第一学期高二年级期末考试。
数学试题 （理）
说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分100分，考试时间100分钟。答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）
第卷（选择题）
一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上)
1．下列命题错误的是 (
a．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
b．若命题，，则“”为：
c．“ 是“”的充分不必要条件。
d．若p：或；q：或，则是的必要不充分条件。
答案：d2．过点p（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的的直线有（ ）
a． .0条 b．. 1条 c． 2 条 d.． 3条。
答案：c3．双曲线的一条渐近线方程是 (
a． b． c． d．
答案：b4．设点，则ab的中点到c的距离为（ ）
abcd．答案：a
5.曲线与曲线的（ ）
a． 焦点相同 b．离心率相等 c．准线相同 d．焦距相等。
答案：d6．已知命题s为“pq”是真命题，那么命题“pq”及的真假是（ ）
a． 真、真 b．假、假 c．真、假 d．以上都不对。
答案：c7．已知向量，且，则k的值为（ ）
abcd．1
答案：a8．如图，在正三棱柱中，．若二的大小为，则点到平面的距离为 （b ）
abc． d．
9．已知线段ab、bd在平面内，abd=120°，线段ac，如果ab=a，bd=b，ac=c，则线段cd的长为（ ）
ab． cd．
答案：c 提示：
10．已知f是双曲线的左焦点，e是该双曲线的右顶点，过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a、b两点，若δabe是锐角三角形，则。
该双曲线的离心率e的取值范围为( )
a．(1，+∞b．(1,2) c．(1,1+) d．(2,1+)
答案：b第卷（非选择题）
二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上）
11．设双曲线c经过点(2，2)，且与具有相同渐近线，则c的方程为___
答案： 12．对于以下命题：
是共线的充要条件；
②对空间任意一点o和不共线的三点a、b、c，若，则p、a、b、c四点共面。
如果，那么与的夹角为钝角
若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底；
若，则。其中不正确结论的序号是。
答案：①③13．已知椭圆与双曲线的公共焦点为f1，f2，点p是两条曲线的一个公共点，则cos∠f1pf2的值为。
答案：14．若椭圆与直线交于a，b两点，若，则过原点与线段ab的中点m的连线的斜率为。
答案： 解：设弦ab的端点坐标分别为，中点为，代入椭圆方程，点差法可得：，由于，所以．
点拨：本问题原本有一定的运算，但这里运用“点差法”，设而不求，简化了运算．
兰州一中2014-2015学年第一学期高二年级期末数学试题。
答题卡 （理）
第卷（选择题）
一、选择题(每小题3分，共30分)
第卷（非选择题）
二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分）
三、解答题（本题共5小题，共52分）
15．（8分）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．
ⅰ）求双曲线方程；
ⅱ）若点在双曲线上，求证：；
ⅲ）对于（2）中的点，求的面积．
解析：（ⅰ由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得。
故双曲线方程为3分
ⅱ）由（ⅰ）可知，，，又点在双曲线上， ∴即6分。
ⅲ） 的面积为6．
8分。16． (10分)
在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求二面角的余弦值．
解：（ⅰ由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则2分。
又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，那么，根据题意，点落在上，，易求得，……4分。
四边形是平行四边形，∴，平面………6分。
ⅱ）解法一：作，垂足为，连接，⊥平面，∴，又，平面，∴，就是二面角的平面角．……9分。
中，，，．即二面角的余弦值为。……12分。
17．如图，在直三棱柱中， .
ⅰ）若d为中点，求证：平面平面；
ⅱ）若二面角b1—dc—c1的大小为60°，求ad的长。
解法一：（ⅰ又由直三棱柱性质知，∴平面acc1a1.∴…
由d为中点可知，即……②
由①②可知平面，又平面，故平面平面。
ⅱ）由（1）可知平面acc1a1，如图，在面acc1a1内过c1作，交cd或延长线或于e，连eb1，由三垂线定理可知为二面角b1—dc—c1的平面角，由b1c1=2知，设ad=x，则∵的面积为1，∴，解得，即。
解法二：（ⅰ如图，以c为原点，ca、cb、cc1所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系。 则 c（0，0，0），a（1，0，0），b1（0，2，2），c1（0，0，2），d（1，0，1）.
即。得；又，∴平面b1c1d.又平面b1cd，平面平面。
ⅱ）设ad=a，则d点坐标为（1，0，a），设平面b1cd的法向量为。 则由得，又平面c1dc的法向量为，则由，即，故。
18．（本题满分12分）已知定点（1,0）和定圆b：动圆p和定圆b相切并过a点，1） 求动圆p的圆心p的轨迹c的方程。
2） 设q是轨迹c上任意一点，求的最大值。
解：（1）设，则，所以点p的轨迹是以a,b为焦点，长轴长为4的椭圆。
所以点p的轨迹方程是。
2）设则。当且仅当时取“=”的最大值是。
19．已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．
ⅰ)求椭圆的方程；
ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅。
有一个公共点，点是直线上的两点，且。
求四边形面积。
的最大值．解：(ⅰ依题意，设椭圆的方程为．
构成等差数列，又，故．
从而，椭圆的方程为4分
ⅱ)将直线的方程代入椭圆的方程中，得5分。
由直线与椭圆仅有一个公共点知，化简得6分。
设8分。法一）当时，设直线的倾斜角为，则。
10分。又，当时，，，
当时，四边形是矩形11分。
故四边形面积的最大值为12分。法二），
四边形的面积， …10分。
12分。当且仅当时，，故．
所以四边形的面积的最大值为．
补充：20、设为抛物线准线上的任意一点，过点作曲线的两条切线，设切点为、.
ⅰ）直线是否过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由；
ⅱ）当直线的斜率均存在时，求证：直线的斜率的倒数成等差数列。
说明：考查圆锥曲线切线，直线过定点，圆锥曲线计算能力等。难题。
解：（ⅰ设，两切点为，
由得，求导得．
两条切线方程为 ①
……2分
对于方程①，代入点得，，又，整理得：，同理对方程②有，即为方程的两根．
4分。设直线的斜率为，所以直线的方程为，展开得：
代入③得：∴直线恒过定点6分
另解：同上得两条切线方程为 ①
得 ab方程为即。
直线恒过定点6分。
ⅱ）证明：由（ⅰ）的结论，设，， 且有， ∴又∵，所以。
即直线的斜率倒数成等差数列．……12分。
另解：设切线方程为
由。因为直线与抛物线相切。
所以………知切线ma，mb的斜率是方程①的两个根。所以 又。
即直线的斜率倒数成等差数列．……12分。
21. （本小题满分12分）如图，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为．
过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下。
依次为，．1）若与的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；
2）求的最大值．
解：（1）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为。
1分。因为两渐近线的夹角为且，所以．
所以2分。所以．
因为，所以，所以，．
所以椭圆的方程为．
4分。2），故直线与的方程为，其中．
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