1高二数学 理科

发布 2022-07-10 14:21:28 阅读 5606

兰州一中2014-2015学年第一学期高二年级期末考试。

数学试题 (理)

说明:本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分100分,考试时间100分钟。答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡)

第卷(选择题)

一、选择题(每小题3分,共30分,将答案写在答题卡上)

1.下列命题错误的是 (

a.命题“若,则”的逆否命题为“若,则”

b.若命题,,则“”为:

c.“ 是“”的充分不必要条件。

d.若p:或;q:或,则是的必要不充分条件。

答案:d2.过点p(2,4)且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的的直线有( )

a. .0条 b.. 1条 c. 2 条 d.. 3条。

答案:c3.双曲线的一条渐近线方程是 (

a. b. c. d.

答案:b4.设点,则ab的中点到c的距离为( )

abcd.答案:a

5.曲线与曲线的( )

a. 焦点相同 b.离心率相等 c.准线相同 d.焦距相等。

答案:d6.已知命题s为“pq”是真命题,那么命题“pq”及的真假是( )

a. 真、真 b.假、假 c.真、假 d.以上都不对。

答案:c7.已知向量,且,则k的值为( )

abcd.1

答案:a8.如图,在正三棱柱中,.若二的大小为,则点到平面的距离为 (b )

abc. d.

9.已知线段ab、bd在平面内,abd=120°,线段ac,如果ab=a,bd=b,ac=c,则线段cd的长为( )

ab. cd.

答案:c 提示:

10.已知f是双曲线的左焦点,e是该双曲线的右顶点,过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a、b两点,若δabe是锐角三角形,则。

该双曲线的离心率e的取值范围为( )

a.(1,+∞b.(1,2) c.(1,1+) d.(2,1+)

答案:b第卷(非选择题)

二、填空题(第13小题6分,其余每小题4分,共18分,将答案写在答题卡上)

11.设双曲线c经过点(2,2),且与具有相同渐近线,则c的方程为___

答案: 12.对于以下命题:

是共线的充要条件;

②对空间任意一点o和不共线的三点a、b、c,若,则p、a、b、c四点共面。

如果,那么与的夹角为钝角

若为空间一个基底,则构成空间的另一个基底;

若,则。其中不正确结论的序号是。

答案:①③13.已知椭圆与双曲线的公共焦点为f1,f2,点p是两条曲线的一个公共点,则cos∠f1pf2的值为。

答案:14.若椭圆与直线交于a,b两点,若,则过原点与线段ab的中点m的连线的斜率为。

答案: 解:设弦ab的端点坐标分别为,中点为,代入椭圆方程,点差法可得:,由于,所以.

点拨:本问题原本有一定的运算,但这里运用“点差法”,设而不求,简化了运算.

兰州一中2014-2015学年第一学期高二年级期末数学试题。

答题卡 (理)

第卷(选择题)

一、选择题(每小题3分,共30分)

第卷(非选择题)

二、填空题(第13小题6分,其余每小题4分,共18分)

三、解答题(本题共5小题,共52分)

15.(8分)已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点.

ⅰ)求双曲线方程;

ⅱ)若点在双曲线上,求证:;

ⅲ)对于(2)中的点,求的面积.

解析:(ⅰ由题意,可设双曲线方程为,又双曲线过点,解得。

故双曲线方程为3分

ⅱ)由(ⅰ)可知,,,又点在双曲线上, ∴即6分。

ⅲ) 的面积为6.

8分。16. (10分)

在如图所示的空间几何体中,平面平面,与是边长为的等边三角形,,和平面所成的角为,且点在平面上的射影落在的平分线上.

ⅰ)求证:平面;

ⅱ)求二面角的余弦值.

解:(ⅰ由题意知,,都是边长为2的等边三角形,取中点,连接,则2分。

又∵平面⊥平面,∴⊥平面,作⊥平面,那么,根据题意,点落在上,,易求得,……4分。

四边形是平行四边形,∴,平面………6分。

ⅱ)解法一:作,垂足为,连接,⊥平面,∴,又,平面,∴,就是二面角的平面角.……9分。

中,,,.即二面角的余弦值为。……12分。

17.如图,在直三棱柱中, .

ⅰ)若d为中点,求证:平面平面;

ⅱ)若二面角b1—dc—c1的大小为60°,求ad的长。

解法一:(ⅰ又由直三棱柱性质知,∴平面acc1a1.∴…

由d为中点可知,即……②

由①②可知平面,又平面,故平面平面。

ⅱ)由(1)可知平面acc1a1,如图,在面acc1a1内过c1作,交cd或延长线或于e,连eb1,由三垂线定理可知为二面角b1—dc—c1的平面角,由b1c1=2知,设ad=x,则∵的面积为1,∴,解得,即。

解法二:(ⅰ如图,以c为原点,ca、cb、cc1所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系。 则 c(0,0,0),a(1,0,0),b1(0,2,2),c1(0,0,2),d(1,0,1).

即。得;又,∴平面b1c1d.又平面b1cd,平面平面。

ⅱ)设ad=a,则d点坐标为(1,0,a),设平面b1cd的法向量为。 则由得,又平面c1dc的法向量为,则由,即,故。

18.(本题满分12分)已知定点(1,0)和定圆b:动圆p和定圆b相切并过a点,1) 求动圆p的圆心p的轨迹c的方程。

2) 设q是轨迹c上任意一点,求的最大值。

解:(1)设,则,所以点p的轨迹是以a,b为焦点,长轴长为4的椭圆。

所以点p的轨迹方程是。

2)设则。当且仅当时取“=”的最大值是。

19.已知两点及,点在以、为焦点的椭圆上,且、、构成等差数列.

ⅰ)求椭圆的方程;

ⅱ)如图,动直线与椭圆有且仅。

有一个公共点,点是直线上的两点,且。

求四边形面积。

的最大值.解:(ⅰ依题意,设椭圆的方程为.

构成等差数列,又,故.

从而,椭圆的方程为4分

ⅱ)将直线的方程代入椭圆的方程中,得5分。

由直线与椭圆仅有一个公共点知,化简得6分。

设8分。法一)当时,设直线的倾斜角为,则。

10分。又,当时,,,

当时,四边形是矩形11分。

故四边形面积的最大值为12分。法二),

四边形的面积, …10分。

12分。当且仅当时,,故.

所以四边形的面积的最大值为.

补充:20、设为抛物线准线上的任意一点,过点作曲线的两条切线,设切点为、.

ⅰ)直线是否过定点?如果是,求出该定点,如果不是,请说明理由;

ⅱ)当直线的斜率均存在时,求证:直线的斜率的倒数成等差数列。

说明:考查圆锥曲线切线,直线过定点,圆锥曲线计算能力等。难题。

解:(ⅰ设,两切点为,

由得,求导得.

两条切线方程为 ①

……2分

对于方程①,代入点得,,又,整理得:,同理对方程②有,即为方程的两根.

4分。设直线的斜率为,所以直线的方程为,展开得:

代入③得:∴直线恒过定点6分

另解:同上得两条切线方程为 ①

得 ab方程为即。

直线恒过定点6分。

ⅱ)证明:由(ⅰ)的结论,设,, 且有, ∴又∵,所以。

即直线的斜率倒数成等差数列.……12分。

另解:设切线方程为

由。因为直线与抛物线相切。

所以………知切线ma,mb的斜率是方程①的两个根。所以 又。

即直线的斜率倒数成等差数列.……12分。

21. (本小题满分12分)如图,已知椭圆的方程为,双曲线的两条渐近线为.

过椭圆的右焦点作直线,使,又与交于点,设与椭圆的两个交点由上至下。

依次为,.1)若与的夹角为60°,且双曲线的焦距为4,求椭圆的方程;

2)求的最大值.

解:(1)因为双曲线方程为,所以双曲线的渐近线方程为。

1分。因为两渐近线的夹角为且,所以.

所以2分。所以.

因为,所以,所以,.

所以椭圆的方程为.

4分。2),故直线与的方程为,其中.

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