2013-2014学年（上）高2015级中期考试。
数学（理科）试题。
考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
3.考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：侧面积体积：
圆柱柱体：
圆锥锥体：
圆台圆台：
球球： 第ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若方程表示直线，则应满足的条件为( )
a. b. c. d.
2. 点到直线的距离是（ ）
abcd．
3．在下列命题中，不是公理的是（ ）
a．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
b．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；
c．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线。
d．平行于同一个平面的两个平面相互平行。
4. 设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四种说法：
若，，则；若，，，则；
若，，则；若，，，则。
其中正确的个数是( )
a．1 b．2 c．3 d．4
5．已知两条直线和互相平行，则等于( )
a． -1或3 b．1或-3 c．1或3 d． -1或3
6．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
a． b．
c． d．
7.直线的倾斜角的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
8．已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
a. b. c . d.
9．如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且//平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是 (
a ． b． c． d．
10.曲线与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
第ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分。）
11．直线的斜率是。
12．若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为。
13. 无论为何实数，直线恒过定点。
14．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为。
15..如图①，一个圆锥形容器的高为a=2，内装有高度为的一定量的水，如果将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为1（如图②），则图①中的水面高度 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.求经过直线和的交点且与直线分别垂直、平行的直线方程。
17.叙述并作图证明直线与平面平行的性质定理。
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯， ,且，分别为的中点。
1)求证：; 2)求与所成角的正弦值。
19.四边形的四个顶点坐标分别为，直线把四边形分成两部分，表示靠近轴一侧那部分的面积。
1）求的函数表达式；
2）当为何值时，直线将四边形分为面积相等的两部分。
20.如图，四棱柱的底面是平行四边形，且，为的中点，.
ⅰ)证明：;
ⅱ)若，试求异面直线与所成角的余弦值；
ⅲ)在(ⅱ)的条件下，试求二面角的余弦值。
21.在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于两点，**正实数取何值时，使的面积为的直线仅有一条；仅有两条；仅有三条；仅有四条。
万州三中2013-2014学年（上）高2015级中期考试。
数学（理科）试题答案。
评分标准仅供参考）
一．选择题：1-10 cadbb dbaca
二、填空题 11. 12. 13。(－2,3)
14. x＋y－1＝0或2y＋3x＝0. 15.
三、解答题：
16.解：联立方程组解得，即交点为………4分。
直线的斜率为………5分。
与直线垂直的直线方程为，即；……9分。
与直线平行的直线方程为，即………13分。
答案】解：(1)如图以a为原点建立空间直角坐标系
a(0,0,0),b(2,0,0), c(2,1,0),d(0,2,0) m(1,,1),n(1,0,1),
e(0,m,2-m),p(0,0,2) (2,0,-2),(1,-,1) =0 ……6分。
2)=(2,1,0)平面admn法向量=(x,y,z)
设cd与平面admn所成角α,则……13分。
18.叙述并证明直线与平面平行的性质定理。（证明过程见教材必修2第59页）
性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行……3分。
证明过程。如图，已知：，求证： …6分。
证明：因为，所以。
又因为，所以与无公共点。
又因为所以……13分。
19.1）如图所示，由题意得。
答案】解(ⅰ)依题意，
所以是正三角形， 又
所以， 因为平面，平面，所以
因为，所以平面
因为平面，所以平面平面 . 4分。
ⅱ)取的中点，连接、 ,连接，则
所以是异面直线与所成的角因为，
所以 ,,所以 ……8分。
ⅰ)(解法2:以为原点，过且垂直于的直线为轴，所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系
设(),则
ⅰ)设平面的一个法向量为，
则。取，则，从而，
同理可得平面的一个法向量为，
直接计算知，所以平面平面
ⅱ)由即 解得。
所以异面直线与所成角的余弦值
ⅲ)由(ⅱ)可知，平面的一个法向量为
又，设平面的法向量则得设二面角的平面角为，且为锐角
则 所以二面角的余弦值为 ……12分。
21.【解析】显然直线f(x)=k(x-2)+3与x轴、y轴的交点坐标分别为a()，b(0,3-2k)；
当k＜0时，△aob的面积为依题意得，
即4k2-(12-2m)k+9=0.
又因为δ=［12-2m)］2-4×4×9，且m＞0，所以，m=12时，k值唯一，此时直线l唯一；m＞12时，k值为两个负值，此时直线l有两条；
当k＞0时，△aob的面积为依题意得，-即。
4k2-(12+2m)k+9=0,又因为δ=［12+2m)］2-4×4×9=4m2+48m，且m＞0，所以δ＞0，对于任意的m＞0，方程总有两个不同的解且都大于零，此时有两条直线；
综上可知：不存在正实数m，使△aob的面积为m的直线l仅有一条；当0＜m＜12时，直线l有两条；当m=12时，直线l有三条；当m＞12时，直线l有四条。
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