第三单元二次函数。
一、 教法建议。
抛砖引玉。教学应从生活中的实例引出二次函数，进而总结出二次函数定义：（a，b，c为常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
它是从实践中来，上升为理论的方法，使学生由感性到理性，感到真实贴切，易于接受。进而引导学生自己列表，动手画出二次函数y=x2，y=-x2的图象，总结出其性质，图象的形状——抛物线。以二次函数y=ax2为基础，以具体实例研究，然后由两个特殊型过渡到一般型的二次函数。
要始终把由特殊到一般的思维方法孕育在教学中，把配方法交给学生，待定系数法确定二次函数解析式展现给同学们，再通过描点画出二次函数的图象，结合图象确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、图象的平移规律。图象是轴对称图形，并由二次函数的一般形式，通过配方写成顶点式的形式；结合二次方程的有关知识，由一般式可写成截距式的形式。三种形式实质是一致的，各有千秋，要向学生揭示各种形式的特点[如知其抛物线过三点时，可选用一般式求解；知其图象与x轴有交点时，可选用截距式求解]，以例在求函数解析式时灵活运用。
在教学中，要始终贯彻数形结合法、归纳法、演绎法、配方法、待定系数法。要求动手画图，动脑思考，精心观察，培养学生的各种思维方法。
批点迷津。二次函数这一内容，必须牢记数形结合法进行思维，知其三点求二次函数解析式的方法。如何结合代数、几何、锐角三角函数及生活实际等找到这三点，是求二次函数解析式的关键所在，要根据其性质、平移规律等进行思维，精心观察，数形结合，才能找到解题的突破口，并根据自变量的取值范围画出图象。
一般地说，二次函数的图象是一条抛物线，那么x取值范围必须是实数。若x的取值范围在某一区间，则所画图象只是抛物线的一部分。根据实际问题，有时是整数点。
总之，要根据自变量的取值范围具体画出图象。
在本单元，除抓住“数形结合法”这根主线，对动静的互相转化的辩证关系也要把握适时。
二、学海导航。
思维基础。一）1．二次函数的图象的开口方向是向 ，顶点从标是对称轴是。
2．抛物线的顶点在x轴上，则m的值等于。
3.如果把第一条抛物线向上平移个单位（a0），再向左平移个单位，就得到第二条抛物线，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是
（二）1.如图代13-3-1所示二次函数的图象，则有（ ）
图代13-3-1图代13-3-2
的符号不定。
2.如图1-3-2是抛物线的图象，则下列完全符合条件的是（ ）
3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（ ）
a.或。b.或。
c.或。d.或。
学法指要。例在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c，其中点a在点b的左边，若∠acb=90°，.
1） 求点c的坐标及这个二次函数的解析式；
2） 试设计两种方案，作一条与y轴不生命，与△abc的两边相交的直线，使截得的。
三角形与△abc相似，并且面积是△aoc面积的四分之一。
思考】 （第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y轴的交。
点坐标？3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？
思路分析】 本例必须准确设出a，b两点坐标，再求出c点坐标，并会用它们表。
示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，相互转化，水到渠成。
解：（1）依题意，设a(a,0),b(,0)其中a0, β0，则a,β是方程。
aoc∽△cob。
把a（-4，0）代入①，得。
解这个方程得n=2.
所求的二次函数的解析式为。
现在来解答第二问。
思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件？什么样的三角形与△abc相似？在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比？
在一个图形上作一和直线，需要确定什么？△abc是一个什么样的三角形？
思路分析】①所求的三角形与△abc相似；②所求的三角形面积=
所求三角形若与△abc相似，要具备有“两角对应相等”，“两边对应成比例且夹角相等”，“三边对应成比例”等判定两三角形相似的条件。
在两三角形相似的条件下，“两三角形面积的比等于相似的平方”，即找相似比等于1:2.
在一个图形上，截得一个三角形，需要作一条直线，作一条直线应在图形上确定两个点，且这条直线不能与y轴重合。
分析至此问题十分明确，即在△abc的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。
再来分析△abc是一个什么样的三角形，猜测它是直角三角形最为理想。
从第一问得知的条件a（-4，0）b（1，0），c（0，-2）可用勾股定理推出，△abc确是直角三角形。
这样△abc∽△cao∽△bco，且为作符合条件的直线提供了条件。下边分述作符合条件直线的方案。
方案1:依据“三角形两边中点的连线，截得的三角形与原三角形相似”，其相似比是1:2，面积的比为1:4。
作法：取ao的中点d，过d作d d∥oc，d是ac的中点。
ad：ao=1：2，即add=.
△add∽△aco∽△abc.
图代13-3-3
dd是所求作的直线，add是所求作的三角形。
方案2：利用∠c作一个△bcf △cob。
作法：在ca上截取ce，使ce=co=2，在cb上截取cf，使cf=bo=1，连结ef，则△bcf即为所求，如图代13-3-4所示。请读者证明。
图代13-3-4图代13-3-5
方案3：在ac上截取ag，使ag=co=2，在ab上截取ah，使ah=bc=，连结gh，则△agh为所求，如图代13-3-5所示，请读者去证明。
方案4：在ca上截取cm，使cm=bo=1，在cb上截取cn，使cn=co=2，连结mn，则△cmn为所求，如图代13-3-6所示，请读者去证明。
图代13-3-6图代13-3-7
方案5：在ba上截取bp，使bp=bc=，在bc上截取bq，使bq=bo=1，连结pq，则△bpq为所示，如图代13-3-7所示。请读者去证明。
思维体操。例一运动员推铅球，铅球刚出手时离地面米，铅球落地点距离铅球刚出手时。
相应地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线。求这个抛物线的解析式。
图代13-3-8
如图，结合题意，知抛物线过，用一般式：
解之，于是有。
解方程组，得。
所求抛物线解析式为。
或。，这时，抛物线的最高点（-20，3）不在运动员与铅球落地之间，不合题意，舍去。
所求抛物线解析式为。
0≤x≤10）.
扩散2】 仿扩散1知抛物线过。因b为顶点，所以利用顶点式最宜，于是可设抛物线的解析式为。
又其图象过a，c两点，则。
解方程组，得。
抛物线最高点（-20，3）不在运动员和铅球之间，不合题意，∴舍去。
故所求抛物线的解析式是（0≤x≤10）.
扩散3】 抛物线与x轴交于两点，即d（x，0），c（10，0），联想截距式解之。
于是设抛物线解析式为，其图象又过a，c两点，则有。
又。②联立解方程组，得。
但不合题意，舍去。
故所求二次函数解析式为（0≤x≤10）.
扩散4】 由抛物线对称性，设对称点，b(m，3)，又c（10，0），应用一般式可获解。
设抛物线，则可得。
解这个方程组，得。
（m，3）在第一象限，∴m0.
m=-20（舍去），∴m=4.
进而求得。故所求抛物线解析式是：（0≤x≤10）.
扩散5】 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面o，a两个观测点测得空中固定目标c的仰角分别为α和β，oa=1千米，tgα=,tgβ=,位于o点正上方千米d点处的直升飞机向目标c发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中的e点）.
1） 若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；
2） 说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标c的理由。
思路分析】1 本例应用扩散1～4思路均可，尤以扩散2应用顶点式最佳，读者可仿扩散2求得抛。
物线解析式为：（0≤x≤10）.
2 过点c作cb⊥ox，垂足为b，然后解rt△obc和rt△abc，可求得点在抛。
物线上，因此可击中目标c（请读者自己写出完整解答过程）.
扩散6】 有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现。
把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心m点5m处垂直竖直一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？
图代13-3-9
思路分析】 本例仿扩散2可设抛物线解析式为（0≤x≤40），又抛物线过原点，进而求得，在距离m点5m处，即它们的横坐标是x1=15或x2=25，分别代入抛物线解析式，求得y1=y2=15.所以铁柱应取15m长。
评析】 由扩散1～6，抛物线应用从体育方面，扩散到军事，涉及现代科技、导弹、
直升飞机等。进而又扩散到桥梁建筑，涉及到现代化建设的方方面面，告诉同学们，必须学好课本知识，才能适应现代化的需要。
图代13-3-10
本例的解题思路扩散，把顶点式、一般式、截距式、抛物线的对称性都进行了展示，我们可以根据不同的情况，迅速进行决策，选设不同的解析式，达到求解的目的。
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