一、选择题。
1．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为。
a．e b．1
c．－1 d．－e
解析：函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(1，e]时，y′<0，函数单调递减．
当x＝1时，函数取得最大值－1，故选c.
答案：c2．(2023年洛阳统考)已知f(x)＝x2－cos x，x∈[－1,1]，则导函数f ′(x)是。
a．仅有最小值的奇函数。
b．既有最大值，又有最小值的偶函数。
c．仅有最大值的偶函数。
d．既有最大值，又有最小值的奇函数。
解析：f ′(x)＝x＋sin x，显然f ′(x)是奇函数，令h(x)＝f ′(x)，则h(x)＝x＋sin x，求导得h′(x)＝1＋cos x．当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f ′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．
答案：d3．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞上一定。
a．有最小值 b．有最大值
c．是减函数 d．是增函数。
解析：∵f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞1)上有最小值，a<1.
g(x)＝＝x＋－2a，则g′(x)＝1－＝.
x∈(1，＋∞a<1，x2－a>0，即g′(x)>0.
g(x)在(1，＋∞上是增函数．
答案：d4．(2023年深圳调研)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是。
a．(0,1) b．(－1)
c．(0，＋∞d．(0，)
解析：f(x)在(0,1)内有最小值，即f(x)在(0,1)内有极小值，f ′(x)＝3x2－6b，由题意，函数f ′(x)的草图如图，即。
解得0答案：d
5．如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为。
a．长102米，宽米 b．长150米，宽66米。
c．长、宽均为100米 d．长150米，宽米。
解析：设鱼塘长、宽分别为y米、x米，依题意xy＝10 000.
设占地面积为s，则s＝(3x＋8)(y＋6)＝18x＋＋30 048，令s′＝18－＝0，得x＝，此时y＝150.
答案：d6．(2023年课标全国)设点p在曲线y＝ex上，点q在曲线y＝ln(2x)上，则|pq|的最小值为。
a．1－ln 2 b. (1－ln 2)
c．1＋ln 2 d. (1＋ln 2)
解析：由y＝ex得ex＝2y，所以x＝ln 2y，所以y＝ex的反函数为y＝ln 2x，所以y＝ex与y＝ln 2x的图象关于直线y＝x对称，所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离，令(ln 2x)′＝1，解得x1＝1，令(ex)′＝1，解得x2＝ln 2，所以两点为(1，ln 2)和(ln 2,1)，故d＝(1－ln 2)，选b.
答案：b二、填空题。
7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为m，m，则m－m
解析：令f ′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，列表得：
可知m＝24，m＝－8，∴m－m＝32.
答案：328．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的**p(元)之间的关系式为p＝24 200－x2，且生产x吨的成本为r＝50 000＋200x元，则当利润达到最大时该厂每月应生产___吨产品．
解析：当月产量为x吨时利润为。
f(x)＝(24 200－x2)x－(50 000＋200x)
－x3＋24 000x－50 000(x≥0)，f ′(x)＝－x2＋24 000.
令f ′(x)＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．
因f(x)在[0，＋∞内只有一个点x＝200使f ′(x)＝0，故它就是最大值点．
答案：200
9．(2023年孝感统考)设函数y＝f(x)在(a，b)上的导数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导数为f′′(x)，若在(a，b)上，f′′(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．若函数f(x)＝x4－mx3－x2为区间(－1,3)上的“凸函数”，则m
解析：由函数f(x)＝x4－mx3－x2，得f′(x)＝x3－mx2－3x，f′′(x)＝x2－mx－3.
若f(x)为区间(－1,3)上的“凸函数”，则有f′′(x)＝x2－mx－3<0在区间(－1,3)上恒成立，由二次函数的图象知，即得m＝2.
答案：2三、解答题。
10．(2023年江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，abcd是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得a，b，c，d四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．e、f在ab上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设ae＝fb＝x(cm)．
1)若广告商要求包装盒的侧面积s(cm2)最大，试问x应取何值？
2)若厂商要求包装盒的容积v(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得。
a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)s＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当x＝15时，s取得最大值．
2)v＝a2h＝2 (－x3＋30x2)，v′＝6x(20－x)．
由v′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，v′>0；当x∈(20,30)时，v′<0.
所以当x＝20时，v取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为。
11．(2023年安徽)设函数f(x)＝aex＋＋b(a>0)．
1)求f(x)在[0，＋∞内的最小值；
2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解：(1)f′(x)＝aex－，当f′(x)>0，即x>－ln a时，f(x)在(－ln a，＋∞上递增；
当f′(x)<0，即x<－ln a时，f(x)在(－∞ln a)上递减．
当00，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a，＋∞上递增，从而f(x)在[0，＋∞上的最小值为f(－ln a)＝2＋b；
当a≥1时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞上递增，从而f(x)在[0，＋∞上的最小值为f(0)＝a＋＋b.
2)依题意f′(2)＝ae2－＝，解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)．
所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝.
故a＝，b＝.
12．(2023年陕西)设函数f(x)定义在(0，＋∞上， f(1)＝0，导函数f ′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f ′(x)．
1)求g(x)的单调区间和最小值；
2)讨论g(x)与g()的大小关系．
解：(1)由题设易知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋，g′(x)＝，令g′(x)＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，当x∈(1，＋∞时，g′(x)>0，故(1，＋∞是g(x)的单调增区间，因此，x＝1是g(x)的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
2)g()＝lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，则h′(x)＝－当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()，当x∈(0,1)∪(1，＋∞时h′(x)<0，h′(1)＝0，因此，h(x)在(0，＋∞内单调递减，当0h(1)＝0，即g(x)>g()，当x>1时，h(x)[热点**]
13．(2023年河北正定中学高三第二次月考)已知函数f(x)＝＋lnx(a>0)．
1)若函数f(x)在[1，＋∞上是增函数，求正实数a的取值范围；
2)若a＝1，k∈r且k<，设f(x)＝f(x)＋(k－1)lnx，求函数f(x)在[，e]上的最大值和最小值．
解：(1)由题设可得f ′(x)＝(a>0)
因为函数f(x)在[1，＋∞上是增函数，所以，当x∈[1，＋∞时，不等式f ′(x)＝≥0即a≥恒成立．
因为，当x∈[1，＋∞时，的最大值为1，则实数a的取值范围是[1，＋∞
2)a＝1, f(x)＝＋lnx，f(x)＝＋lnx＋(k－1)lnx＝＋klnx
所以，f′(x)＝＋
若k＝0，则f′(x)＝，在[，e]上，恒有f′(x)<0，所以f(x)在[，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝，f(x)max＝f()＝e－1
k≠0时f′(x)＝＝
ⅰ)若k<0，在[，e]上，恒有<0，所以f(x)在[，e]上单调递减．
f(x)min＝f(e)＝＋klne＝＋k＝＋k－1，f(x)max＝f()＝e－k－1.
ⅱ)k>0时，因为k<，所以》e，x－)<0，所以<0，所以f(x)在[，e]上单调递减．
f(x)min＝f(e)＝＋klne＝＋k＝＋k－1，f(x)max＝f()＝e－k－1.
综上所述：当k＝0时，f(x)min＝，f(x)max＝e－1；当k≠0且k《时，f(x)max＝e－k－1，f(x)min＝＋k－1.
课时作业16导数的应用 二
时间 45分钟分值 100分。一 选择题 每小题5分，共30分 1 若函数f x x3 x2 1，则f x a 最大值为1，最小值。b 最大值为1，无最小值。c 最小值为，无最大值。d 既无最大值，又无最小值。解析 f x 3x2 3x，易知f x 在 0 上递增，在 0,1 上递减，在 1，上递增...
导数应用作业
1.本小题10分 某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？2 本小题满分16分 某轮船公司争取一个相距1 000公里的甲 乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度...
2019专题二导数的应用
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