1.2函数及其表示。
1.2.1函数的概念。
讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
提问〗问题1： =1（∈）是函数吗？
问题2： =与=是同一函数吗？
投影〗观察对应：
分析〗观察分析集合a与b之间的元素有什么对应关系？
二、讲授新课函数的概念。
一）函数与映射。
投影〗函数：设a，b是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合a中的任意一个数，在集合b中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：a→b为从集合a到集合b的一个函数，记作=，∈a。
其中叫自变量，的取值范围a叫做函数=的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合，叫做函数=的值域。
函数符号=表示“是的函数”，有时简记作函数。
函数的三要素：对应法则、定义域a、值域。
注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
映射：设是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应为从集合到集合的一个映射。
如果集合中的元素对应集合中元素，那么集合中的元素叫集合中元素的原象，集合中元素叫合中的元素的象。
映射概念的理解。
1)映射包含三个要素：原像集合a,像集合b(或b的子集)以及从集合a到集合b的对应法则。两个集合a,b可以是数集，也可以是点集或其他集合。
对应法则可用文字表述，也可以用符号表示。映射是一种特殊的对应关系，它具有：
1)方向性：映射是有次序的，一般地从a到b的映射与从b到a的映射是不同的；
2)任意性：集合a中的任意一个元素都有像，但不要求b中的每一个元素都有原像；
3)唯一性：集合a中元素的像是唯一的，即不允许“一对多”,但可以“多对一”.
函数与映射的关系。
函数是一种特殊的映射。映射与函数概念间的关系可由下表给出。
函数是特殊的映射，映射是函数的推广。
注意〗（1）函数实际上就是集合a到集合b的一个特殊对应：a→b。这里a，b为非空的数集。
2）a：定义域，原象的集合；：值域，象的集合，其中b；：对应法则，∈a，∈b
3）函数符号： =是的函数，简记。
回顾〗（二）已学函数的定义域和值域：
1、一次函数=＋(0)：定义域，值域。
2、反比例函数= (0)：定义域，值域。
3、二次函数=2＋＋(0)：定义域，值域：当＞0时，｛ 当＜0时，｛
三）函数的值：关于函数值。
例析：若=2＋3＋1，求。
解： =22＋3×2＋1=11
注意〗（1）在=中表示对应法则，不同的函数其含义不一样；
（2）不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；
（3）与是不同的，前者为变数，后者为常数，是的一个特殊值。
四）区间的概念。
投影〗设、是两个实数，而且＜，我们规定：
1）满足不等式≤≤的实数的集合叫做闭区间，表示为[,]
2）满足不等式＜＜的实数的集合叫做开区间，表示为（,）
3）满足不等式≤＜或者＜≤的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为、；
4）实数集可以用区间表示为（－∞满足不等式≥，＞的实数的集合可以分别表示为。
注意〗注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如≤≤。
三、实例提升。
例析〗例1、设集合m=，n=，从m到n有4种对应如下图所示：
其中能表示为m到n的函数关系的有。
解析〗根据对应的含义和函数的概念，可以看出②③能表示m到n的函数关系。
例析〗例2、求下列函数的定义域：
解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式=，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
解：①∵2=0，即=2时，分式无意义，而≠2时，分式有意义。
这个函数的定义域是。
∵3＋2<0，即＜时，根式无意义。
而3＋2≥0，即≥时，根式才有意义。
这个函数的定义域是。
∵当＋1≥0且2－≠0，即≥－1且≠2时，根式和分式同时有意义。
这个函数的定义域是。
另解：要使函数有意义，必须：＋1≥0且2－≠0≥－1且≠2
∴这个函数的定义域是：
强调〗解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。
求函数的定义域的常见类型：
1）当为整式时，定义域为；
2）当为分式时，定义域为使分母不为0的的集合；
3）当为n次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的的集合；
4）当是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的的取值的集合。
例析〗例3、已知函数=32－5＋2，求，，。
解析〗解： (3)=3×32－5×3＋2=14；
例析〗例4、下列函数中哪个与函数=是同一个函数？
解析〗解：（1）=，0，≥0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；
2）=，定义域值域都相同，是同一个函数；
3）=|0；值域不同，不是同一个函数。
例析〗例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
1定义域不同）
2定义域不同）
3定义域、值域都不同）
注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。
四、演练反馈。
1、函数的定义域是（ ）
ab． c． d．
2、下列各组，函数与表示同一个函数的是（ ）
a． =1， =0b． =0 ，
c． =2， =d． =3， =
3、已知函数=2－3，求：
3）若∈，求函数的值域。
4、若，，，则到的映射有个，到的映射有个，到的函数有个。
演练反馈答案：1、b 2、d 3、（1）=－3， =1， =7； （2）=4－9；
（3）值域为,64,81
板书〗函数的概念。
一）函数与映射。
函数的三要素：对应法则、定义域a、值域。
注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
二）已学函数的定义域和值域：
1、一次函数=＋(0)：定义域，值域。
2、反比例函数= (0)：定义域，值域。
3、二次函数=2＋＋(0)：定义域，值域：当＞0时，｛ 当＜0时，｛
板书〗（三）函数的值：关于函数值。
例析：若=2＋3＋1，求。
解： =22＋3×2＋1=11
板书〗（四）区间的概念。
1）满足不等式≤≤的实数的集合叫做闭区间，表示为[,]
2）满足不等式＜＜的实数的集合叫做开区间，表示为（,）
3）满足不等式≤＜或者＜≤的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为、；
4）实数集可以用区间表示为（－∞满足不等式≥，＞的实数的集合可以分别表示为。
高一数学课时作业 函数及其表示
课时作业 四 第4讲函数及其表示 时间 45分钟分值 100分 1 在以下对应关系中 填序号 是a到b的映射 a b f x x的平方根 a r，b r，f x x的倒数 a r，b r，f x x2 2 a b 对应法则 y x2 4.2 已知函数y x 那么该函数的定义域为 对应法则为 值域是 ...
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