单元测评(三) 函数的应用。
时间：90分钟满分：120分)
第ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．给出下列四个命题：
函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1；④函数f(x)＝2x－1的零点是0.其中正确的个数为( )
a．1 b．2c．3d．4
解析：当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对，故选c.
2．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )
a．大于0 b．小于0 c．等于0 d．无法判断。
解析：如图(1)和(2)都满足题设条件，故选d.
3．若函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是( )
a．－1 b．0 c．－1和0 d．1和0
解析：由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1，故选c.
4．方程lgx＋x－2＝0一定有解的区间是( )
a．(0,1) b．(1,2c．(2,3d．(3,4)
解析：设f(x)＝lgx＋x－2，∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg 2＞0，∴f(x)在(1,2)内必有零点，故选b.
5．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，如果不超过200元，则不予优惠．②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )
a．413.7元 b．513.6元 c．546.6元 d．548.7元。
解析：两次购物标价款：168＋＝168＋470＝638(元)，实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)，故选c.
6．方程4x－3×2x＋2＝0的根的个数是( )
a．0b．1c．2d．3
解析：由4x－3×2x＋2＝0，得(2x)2－3×2x＋2＝0，解得2x＝2，或2x＝1，∴x＝0，或x＝1.
7．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图像如图所示，则a、b满足的关系是( )
a．0＜a－1＜b＜1 b．0＜b＜a－1＜1
c．0＜b－1＜a＜1 d．0＜a－1＜b－1＜1
解析：令g(x)＝2x＋b－1，则函数g(x)为增函数，又由图像可知，函数f(x)为增函数，∴a>1，又当x＝0时，－18．函数f(x)＝的零点个数为( )
a．0b．1c．2d．3
解析：方法一：令f(x)＝0，得或。
x＝－3或x＝e2.
方法二：画出函数f(x)的图像可得其图像与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点．答案：c
9．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈r)的部分对应值如表。
则使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是( )
a．(－10，－1)∪(1，＋∞b．(－1)∪(3，＋∞
c．(－1,3d．(0，＋∞
解析：由表可知f(x)的两个零点为－1和3，当－1＜x＜3时f(x)取正值．∴使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是(－1,3)．
10．若方程mx－x－m＝0(m＞0，且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是( )
a．m＞1 b．0＜m＜1 c．m＞0 d．m＞2
解析：方程mx－x－m＝0有两个不同实数根，等价于函数y＝mx与y＝x＋m的图像有两个不同的交点．显然当m＞1时，如图(1)有两个不同交点；当0＜m＜1时，如图(2)有且仅有一个交点，故选a.
答案：a第ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．
11．函数f(x)＝lnx－x＋2的零点个数为。
解析：该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图像的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图像如下图：
由图像可知，两个函数图像有2个交点，即函数f(x)＝lnx－x＋2有2个零点．
12．定义在r上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 006x＋log2 006x，则在r上方程f(x)＝0的零点个数为。
解析：∵函数f(x)是定义在r上的奇函数，f(0)＝0.
x>0时f(x)是增函数，且x趋于0时f(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞上有1个零点．
又∵其图像关于原点对称，∴在(－∞0)上也有1个零点．
故函数f(x)在r上有3个零点．
13．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图像如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是。
有三个实根；②x＞1时恰有一实根；③当0＜x＜1时恰有一实根；④当－1＜x＜0时恰有一实根；⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．
解析：f(x)的图像是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图像向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图像与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞1)，和内，故只有①⑤正确．
答案：①⑤14．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是。
解析：画出f(x)＝
的图像，如图所示．由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，即f(x)－m＝0有3个不相等的实根，结合图像得0答案：(0,1)
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(12分)已知函数y＝2x2＋bx＋c在上是减函数，在上是增函数，且两个零点x1、x2满足|x1－x2|＝2，求这个二次函数的解析式．
解：由题意x＝－＝b＝6.
故y＝2x2＋6x＋c.(4分)
又x1＋x2＝－3，x1x2＝，|x1－x2|＝＝2，c＝.(8分)
经检验δ＝62－4×2×>0，符合题意．
所求二次函数为y＝2x2＋6x＋.(12分)
16．(12分)某校高一(8)班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成：一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示的关系．
1)求x与y的函数关系；
2)当a为120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比，哪一种花钱更少？
解：(1)由题意可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把(4,400)，(5,320)代入得解得。
所以y＝－80x＋720(x>0)．(6分)
2)当a＝120时，若购买饮料，则总费用为120×50＝6 000(元)；若集体改饮桶装纯净水，设所用的费用为ω元，由380＝－80x＋720，得x＝4.25.
ω＝380×4.25＋780＝2 395(元)<6 000(元)．
所以该班学生集体改饮桶装纯净水更省钱．
17．(12分)已知关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实数根．
1)若方程两根都大于1，求实数a的取值范围；
2)若方程一根大于1，另一根小于1，求实数a的取值范围．
解：设f(x)＝x2－2ax＋2＋a.
1)∵两根都大于1，解得2(2)∵方程一根大于1，一根小于1，f(1)<0，解得a>3.(12分)
18．(14分)某商品在近30天内，每件的销售**p(元)与时间t(天)的函数关系是：p＝该商品的日销售量q(件)与时间t(天)的函数关系是q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈n*)，求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天．
解：设商品日销售额为y元，则。
y＝p·q(5分)
若0＜t≤24，则当t＝10时，ymax＝900；
若25≤t≤30，则当t＝25时，ymax＝1 125.
综上得当t＝25，日销售额y有最大值为1 125，即商品日销售金额的最大值为1 125元，第25天日销售金额最大．(14分)
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