第3讲函数的性质。
知识梳理】一．单调性。
1.定义：函数的定义域为，区间，若对任意的且，都有：
1），则称函数是区间上的增函数，是的增区间。
2），则称函数是区间上的减函数，是的减区间。
2.判定方法：
1) 图象法；
2) 定义法(步骤：取值、作差、变形、定号、结论) ；
3) 结论法。如：①增+增=增；增-减=增；②当时，与的单调性相同；当时，与的单调性相反；③当恒不为0时，与的单调性相反。
3.已学函数的单调性：
1）一次函数：
单调递增，②单调递减。
2）反比例函数：
时，在区间上分别是减函数；
时，在区间上分别是增函数。
3）二次函数（单调性以对称轴为界）：
时，在单调递增，在单调递减；
时，在单调递增，在单调递减；
4）双勾函数的单调性：在和上递减；在和上递增。
4.复合函数的单调性：同增异减，小心范围。
二。函数的最值。
1. 定义：设函数的定义域为，如果存在实数满足：
1）对任意，都有，且存在，使得，则称是函数的最大值；
2）对任意，都有，且存在，使得，则称是函数的最小值。
2. 结论：设函数定义在闭区间上：
1) 若在上是连续函数，则必存在最大值和最小值；
2) 若在上单调递增，则，；
3) 若在上单调递减，则，。
三．奇偶性。
1.定义：对函数的定义域内的任何一个自变量，都有：，则称函数是偶函数；，则称函数是奇函数。
点拨： 奇函数和偶函数的定义域关于原对称。
2．性质： 偶函数的图象关于轴对称，反之也成立；
奇函数的图象关于原点对称，反之也成立。
3)在关于原点对称的两个区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性。
4) 若是奇函数且在处有意义，则。
5) 若是偶函数，则。
3．奇偶性的推广：
对函数的定义域内的任何一个自变量：
若都有，则的图象关于直线对称；若都有，则的图象关于直线对称。
若都有，则的图象关于点对称；若都有，则的图象关于点对称。
典例精析】例1. 研究函数的单调性和奇偶性。
解：设，则，。
当时， 在区间内是减函数。
当时， 在区间内是增函数。
当时， ,不具有严格的单调性。
是奇函数。特别当时，既是奇函数又是偶函数。
提问： 你能作出的大至图象吗？
例2. 求函数的单调区间：
1）求函数的单调减区间；
2）已知函数在定义域上是增函数，求函数的单调区间；
3）求函数的单调区间。
解：（1）或，故函数的定义域为。
令，因在递增，在递减，故函数的单调减区间是。
2），故的定义域为。
由，复合而得，在上是增函数，在上递减，在上递增，在上递减，在上递增。
3）令，。则为增函数；
双勾函数递增；
递减。故所求增区间为和；减区间为和。
例3. 利用函数的单调性，求参数的范围：
1）若在区间上是增函数，则实数。
2）若的增区间是，则实数。
3）若在区间上具有单调性，则实数。
4）若在区间上单调递增，求实数。
解对称轴；在区间上单调递增。
例4．已知函数满足：
且，判断函数的奇偶性，并证明你的结论。
解：令，得，又，故，令，得。
是偶函数。例5. 利用单调性解不等式：
2）定义在上的函数满足：，且当时。
若，求实数的取值范围。
解：（1）构造双勾函数，因为在上是增函数，且，故。
原不等式的解集为。
2）设，则，故，在上是减函数。
在中，令。故实数的取值范围是。
例6．已知函数在上是增函数，又函数是偶函数，比较，， 的大小。
解： 是偶函数，图象关于对称，又在上是增函数，故。
例7．给定函数。
1）研究函数的性质（定义域，值域，奇偶性，单调性）并作其图象；
2）解关于的方程。
解：（1），定义域为；值域为。
易知是偶函数；在和单调递增；在和单调递减。
其图象如下：
2）由的图象知：
当时，方程无解；
当时，方程有两个实数根；
当时，方程有四个实数根。，。
小试身手】一。选择题。
1.若在上是单调的连续函数，且，则方程在。
内( d)a．至少有一实根b．至多有一实根c．没有实根d．有唯一实根。
2.函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于（ b ）a.-3b.13c.7d.由而定的常数
3.设函数在上为减函数，则( d )
4.在上单调递减的函数是（ a ）
a. b. d.
5.函数的递减区间是（ c ）
a. b.
二。填空题。
6．函数是定义域上的增函数，且，则实数的取值范围为___7．已知奇函数在定义域上是增函数，若，则不等式的解集为。
8.的增区间为减区间为。
三．解答题。
9. 求证在上是增函数。
证明：设，则。
在上是增函数。
10.求函数的最值。
解： 在定义域上是增函数，，无最大值。
11. 求函数的值域：
解：易知在定义域上是减函数，故的值域为，即。
点拨：本是也可用换元法转化为二次函数求解。
12.已知是偶函数，且在区间上是减函数，试比较与的大小关系。
解：因为，且在区间上是减函数，所以。
13.已知是三个正实数，试比较与的大小。
解： 是三个正实数，令，则在上是增函数，又，故，所以。
14.定义在上的函数满足：且当时，
1）求证：且是增函数；
2）若，解不等式：.
解：（1）证明：令得：；
设，则。在上是增函数。
不等化为：
解集为。思法语录。
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