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奇数、偶数、质数、合数（一）
知识、方法、技能。
.整数的奇偶性。
将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数。因此，任一偶数可表为2m（m∈z），任一奇数可表为2m+1或2m－1的形式。奇、偶数具有如下性质：
（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；
2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式（m∈z）.
3）任何一个正整数n，都可以写成n=2l的形式，其中m为非负整数，l为奇数。这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题。ⅱ.质数与合数、算术基本定理。
大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类。
一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数。
显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数。定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数a都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而a可以写成标准分解式：
ma=p11p22"pnn（*）
其中p1【略证】由于a为一有限正整数，显然a经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性。
设另有a=q1
aaaq22"qnm,其中q1ββ
j=1，2，…，m.由于任何一pi必为**中之一，而任一**也必居pi中之一，故n=m.又因。
p1（不妨设αi>βi），用pii除等式p12p21"pnn=p11p22"pnn两端得：
nα1p1"piαiβi"pn=p11"pi1
i1aaaβββ
pi+1i+1npn.
此式显然不成立（因左端是pi的倍数，而右端不是）.故αi=均成立。惟一性得证。
i对一切i=1，2，…，n
推论：（合数的因子个数计算公式）若a=p11p22"pnn为标准分解式，则a的所有因子（包括1和a本身）的个数等于(α1+1)(α2+1)"(n+1).（简记为。
这是因为，乘积(1+p1+p1+"+p11)(1+p2+p2+"+p2
i=1n
i"(1+pn+pn
"+pn)的每一项都是a的一个因子，故共有∏(αi+1)个。ni=1
n定理：质数的个数是无穷的。
证明】假定质数的个数只有有限多个p1,p2,"pn,考察整数a=p1p2"pn+1.由于a>1且又不能被pi(i=1,2,",n)除尽，于是由算术基本定理知，a必能写成一些质数的乘积，而这些质数必异于pi(i=1,2,",n)，这与假定矛盾。故质数有无穷多个。
赛题精讲。例1．设正整数d不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d｝中可以找到两个元素a,b，使得ab－1不是完全平方数。
（第27届imo试题）【解】由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d－1，5d－1，13d－1中至少有一个不是完全平方数。用反证法，假设它们都是完全平方数，令2d－1=x2①5d－1=y2②13d－1=z2③x,y,z∈n*
由①知，x是奇数，设x=2k－1，于是2d－1=（2k－1）2，即d=2k2－2k+1，这说明d也是奇数。因此，再由②，③知，y,z均是偶数。
设y=2m,z=2n,代入③、④相减，除以4得，2d=n2－m2=(n+m)(n－m)，从而n2－m2为偶数，n，m必同是偶数，于是m+n与m－n都是偶数，这样2d就是4的倍数，即。
d为偶数，这与上述d为奇数矛盾。故命题得证。
例2．设a、b、c、d为奇数，0k,m为整数，那么a=1.（第25届imo试题）【证明】首先易证：2>2.
从而k>m(因为da>bc,于是(a+d)2=(ad)2+4ad>(bc)2+4bc=(b+c)2.再由ad=bc,d=2ka,c=2mb可得b2ma2k=b2a2,k
m因而2m(ba2km)=(b+a)(ba)①
显然，b+a,ba为偶数，b2kma为奇数，并且b+a和ba只能一个为4n型偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a不是4的倍数），因此，如果设b2kma=ef，其中e,f为奇数，那么由①式及b+a,ba的特性就有。
b+a=2（ⅰ）
e,或（ⅱ）b+a=2f,m1ba=m1
由ef=b2kma≤b2a从而f=b2kma.于是（ⅰ）或（ⅱ）分别变为。
m1b+a=2(b2kma),b+a=2,或kmm1ba=2(b2a)ba=2
解之，得a2km+1=2m1.因a为奇数，故只能a=1.
它们中的每一个都取1或－1，而且a1a2a3a4+a2a3a4a5+…例3．设a1,a2,",an是一组数，ana1a2a3=0，证明：n必须是4的倍数。（第26届imo预选题）
证明】由于每个ai均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项aiai+1ai+2ai+3也只取1或－1，而这样的n项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n必须是偶数，设n=2m.
再进一步考察已知等式左端n项之乘积=(a1a2"an)4=1，这说明，这n项中取－1的项（共m项）也一定是偶数，即m=2k，从而n是4的倍数。
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