数学建模实验。
二．微分方程实验。
1. 微分方程稳定性分析。
绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定、或不稳定的进行分类：
1） 选取平衡点，由可知为（0,0）
系数矩阵为易得特征值则对照稳定性情况表，平衡点是不稳定的。
2） 根据（1）题所求方法，取平衡点（0,0），易得特征值对照稳定性情况表，可知平衡点是不稳定的。
3） 取平衡点（0,0），易得特征值对照稳定性情况表，可知平衡点是不稳定的。
4） 取平衡点（1,0），易得特征值对照稳定性情况表，可知平衡点是稳定的。
2. 种群增长模型。
一个**上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。设病菌的数目为n，单位成员的增长率为r1，则由malthus生长率有但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与n1/2成比例，其比例系数为让。求n满足的微分方程，不用求解，图示其解族，方程是否有平衡接，如果有，是否为稳定？
解：由题可得，n满足的微分方程为：
求取平衡点，令，可得平衡点为（0，），由，令可求得，令把第一象限划分为三部分，且分别有。
则微分方程的解族图形如下所示，其中，是不稳定的，是稳定的。
解：1） 构建方程组，令。
易得平衡点。
对于p0，系数矩阵。
已知，所以p<0，该点不稳定。
对于p1，系数矩阵。
由题可知，，该点是稳定的。
即，说明物种1最终会灭亡。
对于p2，系数矩阵。
由题可知，，该点是稳定的。
即，物种2最终要灭亡。
方程组为线性方程组，在平面上匹配两条直线将第一象限分为三个区域。
1） 当时，随着时间的增加，物种1将会灭亡，物种2将达到稳定值。
2）当时，随着时间的增加，物种1最终能达到稳定值，物种2最终要灭亡。
4.蝴蝶效应与混沌解。
解：1） 编写lorenz函数，matlab程序如下：
function dx=lorenz(t,x,b,a,c)
dx=[-b*x(1)+x(2)*x(3);
a*x(2)+a*x(3);
x(1)*x(2)+c*x(2)-x(3)];
调用ode45函数进行求解，利用plot函数进行绘图，如下所示：
2） 适当调整参数，将值各减1，初始值，得到如下图示：
从图中我们可以看出，图形对参数和初始值的变化敏感很高，随着参数和初始值的轻微变化而改变很大。
解：1） 由题可得，微分方程为：
其中，去m=1,g=9.8,用matlab求的数值解，并作出x(t)的图形：
分别为h=0和h=0.1时，2） 由题可知，受附加力后，微分方程为： ，其中，b=1，w=1,1.
2,1.4,1.6,1.
8,2.0,2.2,2.
4,2.6,2.8,3.
0，用matlab求取数值解并作图：
如下非别为h=0以及h=0.1时的图形，3） 如上图所示，在不考虑外力以及摩擦力时，简谐振动会一直进行下去；而当h=0.1时，振幅逐渐减小并趋近于0，但是周期不变。
在施加一个外力后，振幅发生变化，并且去外力的频率有关系，这就是受迫运动。
解：1） 按三段时间利用matlab对数据分别拟合，确定增长率r1,r2,r3,图形如下，增长率如图中所显示：
2） 采用logistic模型，对所有数据利用matlab进行拟合，**如下。
t = 0 : 10 : 190;
x = 3.9 5.3 7.
2 9.6 12.9 17.
1 23.2 31.4 38.
6 50.2 62.9 76.
0 92.0 106.5 123.
2 131.7 150.7 179.
3 204.0 226.5];
f = inline('p(1)./1+p(2)*exp(-p(3).*t))'p','t');
p = lsqcurvefit (f, [300, 50, 0.02], t, x);
得出人口的最大容量nm为360.3560（百万），增长率r为0.0234
图形如下所示：
改变参数，t=200,可以得到2023年人口总数为**为241.7704（百万）。
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