实验报告2
实验名称。怎样计算。
实验目的。利用自己学过的知识，用不同的方法计算的值。
实验环境。mathematica 4
实验内容。1.数值积分法。
取n=5000，通过计算单位圆的面积计算的近似值。
2.泰勒级数法。
在反正切函数的泰勒级数。
arctanx=x-+…中，取x=1,n=30000计算的近似值。
3.蒙特卡罗法。
分别取n=1000,10000,50000,用蒙特卡罗法计算的近似值。
实验的基本理论和方法。
1.半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于。计算出单位圆（即扇形）g的面积，就计算出了。
将扇形g分成n个同样宽度的部分，每部分是一个曲边梯形。当n很大时，可以将曲边梯形近似的看成梯形，所有这些梯形面积的和就可以作为扇形g面积的近似值。n越大，所得值越精确。
2.利用反正切函数的泰勒级数。
arctanx=x-+…给x和n赋值，计算。
3.在数值积分法中，扇形g是边长为1的单位正方形g的一部分，单位正方形g的面积s=1，求出扇形g的面积s在单位正方形g的面积s中所占的比例k=，就能得到s，从而得到的值。用随机投点的方法计算比k。
实验步骤。1.计算语句如下：
n=5000;y[x_]:4/(1+x*x);
s1=(sum[y[k/n],]y[0]+y[1])/2)/n;
s2=(y[0]+y[1]+2*sum[y[k/n],]4*sum[y[(k-1/2)/n],]6*n);
print注：以上s1和s2分别是用梯形公式和辛普森公式计算出的。最后一句中的n[s1,20]表示三s1的前20位准确有效数字组成的近似值，n[pi，30]是的前30位有效数字组成的近似值。
print语句表示将方括号内的数显示出来。
2.计算语句如下：
t[x_,n]:=sum[(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1),]
n[4*t[1，20000]，20]//timing
t[x_,n_]:sum[(-1)^k* x^(2k+1)/(2k+1),]
print[n[4*(t[1/2,260]+t[1/3,170]),150]];
print[n[16*(t[1/5 ,110]+t[1/239,30]),150]];
print[n[pi,150]]
3.计算语句如下：
n=1000;p={}
do[m=0;
do[x=random;y=random;
if[x^2+y^2<=1,m++]
appendto[p,n[4m/n]],
print[p];
sum[p[[t]],10
注：上述语句的功能是：n=1000，每次投1000个点得出的一个近似值存放在数组p中；一共做10次得到10个近似值，通过语句print[p]将这10个近似值全部显示出来观察。
最后再求这10个近似值的平均值，相当于随机投点10000次得到的近似值。
实验结果与结果分析。
1.通过实验可知，n越大，所得值越精确。
2.通过实验可知，泰勒级数法所得结果较数值分析法精确。
通过实验，可知n=1000时精确度很低，取更大的的n，精确度会高一些。但总的来说，蒙特卡罗法所得值的精确度比数值积分法和泰勒级数法低。
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