数学实验报告。
2023年6月12日。
培养容器温度变化率模型。
一、 实验目的。
利用matlab软件估测培养容器温度变化率。
二、 实验问题。
现在大棚技术越来越好，能够将温度控制在一定温度范围内。为利用这种优势，实验室现在需要培植某种适于在8.16℃到10.
74℃下能够快速长大的甜菜品种。为达到实验所需温度，又尽可能地节约成本，研究所决定使用如下方式控制培养容器的温度：
1， 每天加热一次或两次，每次约两小时；
2， 当温度降至8.16℃时，加热装置开始工作；当温度达到10.74℃时，加热装置停止工作。
已知实验的时间是冬天，实验室为了其它实验的需要已经将实验室的温度大致稳定在0℃。下表记录的是该培养容器某一天的温度。
三、 建立数学模型。
1， 分析：由物理学中的傅利叶传热定律知温度变化率只取决于温度差，与温度本身无关。因为培养容器最低温度和最高温度分别是：
8.16℃和10.74℃；即最低温度差和最高温度差分别是：
8.16℃和10.74℃。
而且，≈1.1467，约为1，故可以忽略温度对温度变化率的影响。
2， 将温度变化率看成是时间的连续函数，为计算简单，不妨将温度变化率定义成单位时间温度变化的多少，即温度对时间连续变化的绝对值（温度是下降的），得到结果后再乘以一系数即可。
四、 问题求解和程序设计流程。
1） 温度变化率的估计方法。
根据上表的数据，利用matlab做出温度-时间散点图如下：
下面计算温度变化率与时间的关系。由图选择将数据分三段，然后对每一段数据做如下处理：设某段数据为相邻数据中点的平均温度变化率采取公式：
温度变化率=（左端点的温度-右端点的温度）/区间长度。
算得即：v()=
每段首尾点的温度变化率采用下面的公式计算：
v()=3-4+)/
v()=3-4+)/
用以上公式计算得温度变化率与时间的数据表如下：
根据上表作出温度变化率-时间散点图如下：
下面分别利用数据插值法和数据拟合法两种方法来估计温度变化率。
1） 数据插值法。
对上表即温度变化率与时间的数据表加热装置不工作时段1和加热装置不工作时段2采用插值法，可以得到任意时刻的温度变化率；
编写matlab程序如下：
t=[0,0.46,1.38,2.395,3.41,4.425,5.44,6.45,7.465,8.45,8.97];
v=[29.89,21.74,18.
48,16.22,16.30,15.
32,13.04,15.45,13.
98,16.35,19.27];
t0=0:0.1:8.97;
lglr=lglrcz(t,v,t0);
lglrjf=0.1*trapz(lglr)
fdxx=interp1(t,v,t0);
fdxxjf=0.1*trapz(fdxx)
scyt=interp1(t,v,t0,'spline');
sancytjf=0.1*trapz(scyt)
plot(t,v,'*t0,lglr,'r',t0,fdxx,'g',t0,scyt,'b')
gtext('lglr')
gtext('fdxx')
gtext('scyt')
其中使用了文件的**是：
function y=lglrcz(x0,y0,x)
n=length(x0);
m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/x0(k)-x0(j));
endend
s=p*y0(k)+s;
endy(i)=s;
end程序执行后显示结果：
如图曲线lglr，fexx，scyt分别表示用拉格朗日插值法，分段线形插值法和三次样条插值法对第一加热时段数据插值得到的温度变化率-时间线。
lglrjf =145.6231
fdxxjf =147.1430
sancytjf =145.6870
上面三式分别表示拉格朗日插值法，分段线形插值法和三次样条插值法算得的第一加热装置不工作时段的温度差同实际值146（=968-822）相比度比较接近。
2） 数据拟合法。
1，拟合温度-时间函数。
与数据插值法一样，依加热装置是否在工作将数据分成三段。下面是第一段的程序：
t=[0,0.92,1.84,2.
95,3.87,4.98,5.
90,7.00,7.93,8.
97,10.95,12.03,12.
95,13.88,14.98,15.
90,16.83,17.93,19.
04,19.96,20.84,23.
88,24.99,25.66]
h=[9.68,9.48,9.
31,9.13,8.98,8.
81,8.69,8.52,8.
39,8.22,10.82,10.
50,10.21,9.94,9.
65,9.41,9.18,8.
92,8.66,8.43,8.
22,10.59,10.35,10.
18]c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);
tp1=0:0.1:8.9;
x1=polyval(c1,tp1);
plot(tp1,x1)
运行程序的结果是：
第一时间段温度与时间的三次多项式拟合曲线：
2， 确定温度-时间的函数。
对第一第二时间段的温度求导可得到温度的变化率，用三次多项式拟合第一第二时间段的温度和时间的关系曲线。程序如下：
c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);
c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3);
a1=polyder(c1);
a2=polyder(c2);
tp1=0:0.01:8.97;
tp2=10.95:0.01:20.84;
x13=-polyval(a1,tp1);
x113=-polyval(a1,[0:0.01:8.97]);
wgsyall=100*trapz(tp1,x113);
x14=-polyval(a1,[7.93,8.97]);
x23=-polyval(a2,tp2);
x114=-polyval(a2,[10.95:0.01:20.84]);
wgsys12=100*trapz(tp2,x114);
x24=-polyval(a2,[10.95,12.03]);
x25=-polyval(a2,[19.96,20.84]);
subplot(1,2,1)
plot(tp1,x13*100)
subplot(1,2,2)
plot(tp2,x23*100)
程序运行结果：
第一第二时段温度变化率与时间的关系曲线：
同数据插值法的方法可知， 上表数据与实际情况都吻合。
五、 上机实验结果的分析与结论。
1.使用数据插值法和数据拟合法所得到的温度变化率-时间曲线在上文中都已经给出，比较可知，用两种方法所得到的温度变化率-时间曲线在对应位置是相吻合的。
2.由于两种方法所得结果相吻合，任选其一可得到培养容器温度变化率随时间的变化关系。
3。由图象可知， 温度变化率随时时间一直在变化，而且都是先大幅降低后稍有起伏。
六、 实验总结与体会。
1，对现实实例进行抽象化，并用自己的各科知识确定实例该选用哪种数学模型。
2，选定数学模型之后再尽可能用多种求解方法求解（数据插值法，数据拟合法等） 尽可能地让求解出的数据吻合实际数据；如果求解出的数据和实际数据有很大出入，则必须要提高精度，对数据拟合法尽可能地让拟合多项式的次数更高，是结果更加精确；对数据插值法尽可能地多用其他的插值法并与实际比较选择更好的插值方法。
3，当模型不是那么清晰时，尽可能多用matlab作图分析，把握实际问题的特点更好地进行求解。
4，学习缉私船模型，人口模型，水塔模型时应该吃透模型的本质，不同的实际背景的问题在很多时候可以使用同样的模型进行求解。像缉私船模型对于大部分追击问题都适用或有可借鉴之处。
5，在培养容器温度变化率模型中，在好多时候进行了很大的简化和模糊化，更好地求解这类问题需要进行更深入的学习数学理论知识和matlab编程知识！
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